Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
x=(y-2)^2 e y=x, ao redor da reta y=1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno da reta y=1 a região entre as curvas x=(y-2)^2 e y=x. Vamos usar o método dos casquilhos cilíndricos, que exige encontrar as interseções das curvas e montar uma integral em y.

Passo 2

Para achar os pontos de intersecção, igualamos as expressões de x: (y-2)^2 = y. Isso leva à equação y^2 -5y +4 = 0, cuja solução é y=1 e y=4.

Passo 3

Em um casquilho horizontal a uma altura y, o raio até a reta y=1 é r = y - 1 e a altura do casquilho é a diferença entre a abscissa da curva de direita (linha y=x) e da curva de esquerda (parábola x=(y-2)^2). Logo, h = y - (y-2)^2. A área lateral do casquilho é 2pi r h. Assim o volume é dado por:
V = integraly=1^4 2pi,(y-1)l(y - (y-2)^2r),dy

Passo 4

Expandindo o integrando, temos
(y-1)l(y - (y-2)^2r) = (y-1)(-y^2 +5y -4) = -y^3 +6y^2 -9y +4
Portanto
V = 2pi integral1^4 l(-y^3 +6y^2 -9y +4r),dy

Passo 5

Agora integramos o polinômio:
integral l(-y^3 +6y^2 -9y +4r),dy = -y^44 +2y^3 -9y^22 +4y
Avaliando de y=1 até y=4 obtemos
l[-tfracy^44 +2y^3 -tfrac9y^22 +4yr]1^4 = 274

Passo 6

Por fim, multiplicamos pelo fator 2pi:
V = 2pi cdot 274 = 27pi2

Resposta

27pi2

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