Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
e
, ao redor da reta
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno da reta
a região entre as curvas
e
. Vamos usar o método dos casquilhos cilíndricos, que exige encontrar as interseções das curvas e montar uma integral em
.
Passo 2
Para achar os pontos de intersecção, igualamos as expressões de
:
. Isso leva à equação
, cuja solução é
e
.
Passo 3
Em um casquilho horizontal a uma altura
, o raio até a reta
é
e a altura do casquilho é a diferença entre a abscissa da curva de direita (linha
) e da curva de esquerda (parábola
). Logo,
. A área lateral do casquilho é
. Assim o volume é dado por:
Passo 4
Expandindo o integrando, temos
Portanto
Passo 5
Agora integramos o polinômio:
Avaliando de
até
obtemos
Passo 6
Por fim, multiplicamos pelo fator
: