Determine os seguintes limites.
lim x 1(x^3-1)^sen(x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto1(x^3-1)^sin(x)
Aqui temos uma indeterminação do tipo 0^0, pois quando xto1 vem x^3-1to0 e sin(x)tosin(1)neq0. Para tratar limites desse tipo, usamos a reescrita via exponencial e logaritmo.

Passo 2

Defina
y = (x^3-1)^sin(x)
Como x^3-1>0 para x>1, podemos escrever
y = expl(sin(x),ln(x^3-1)r)
Portanto
limxto1y = exp!l(limxto1sin(x),ln(x^3-1)r)

Passo 3

Calculemos o limite do expoente
sin(x),ln(x^3-1)
Para isso, note que
ln(x^3-1)=lnl((x-1)(x^2+x+1)r) =ln(x-1)+ln(x^2+x+1)
Quando xto1^+ temos
ln(x-1)to-infty e ln(x^2+x+1)toln(3), enquanto sin(x)tosin(1) é finito e não nulo. Logo
limxto1^+sin(x),ln(x^3-1) =sin(1)l(-infty+ln3r)=-infty

Passo 4

Como o expoente tende a -infty, segue-se que
expl(-inftyr)=0
Portanto o limite original é 0.

Resposta

0

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