A solução da inequação: (2 x+1) /(x+2) \leq 0 é?

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{2x+1}{x+2} \le 0
Aqui o conteúdo é análise de sinal de uma expressão fracionária. Vamos precisar encontrar onde o numerador e o denominador mudam de sinal e montar um quadro de sinais.

Passo 2

Identificamos os pontos críticos, isto é, onde numerador ou denominador se anulam:
O numerador 2x+1 zera em
2x+1=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac12.
O denominador x+2 zera em
x+2=0\quad\Longrightarrow\quad x=-2,
porém em x=-2 a expressão fica indefinida, logo esse ponto não pode ser incluído na solução.

Passo 3

Dividimos a reta real nos intervalos (-\infty,-2), (-2,-\tfrac12) e (-\tfrac12,\infty) e avaliamos o sinal de \frac{2x+1}{x+2} em cada um:
  • Em x<-2: numerador 2x+1<0, denominador x+2<0, então a fração é positiva.
  • Em -2<x<-\tfrac12: numerador 2x+1<0, denominador x+2>0, então a fração é negativa.
  • Em x>-\tfrac12: numerador 2x+1>0, denominador x+2>0, então a fração é positiva.

Passo 4

Queremos os x tais que \frac{2x+1}{x+2}\le0, ou seja, onde a fração é negativa ou zero. A fração é negativa em (-2,-\tfrac12) e vale zero em x=-\tfrac12. Em x=-2 está indefinida, então não entra.
Logo a solução é o intervalo
(-2,\,-\tfrac12]\,.

Resposta

\,(-2,-\tfrac12]\,

Exercícios relacionados