Seja X igual a ingestão máxima de oxigênio de um humano em uma esteira, onde as medições estão em mililitros de oxigênio por minuto por quilograma de peso. Suponha que, para uma população específica, a média de X é \mu=54,030 e o desvio padrão é \sigma=5,8. Seja \bar{X} a média de uma amostra aleatória de tamanho n=47. Encontre P(52,761 \leq \bar{X} \leq 54,453).

Passo 1

O enunciado trata da média amostral \bar{X} de tamanho n=47 de uma variável X com média populacional \mu=54,030 e desvio padrão \sigma=5,8. Queremos
P\bigl(52,761 \le \bar{X} \le 54,453\bigr).
O conteúdo usado será o Teorema do Limite Central, que diz que para n grande a distribuição de \bar{X} é aproximadamente normal com
\mathrm{E}(\bar{X})=\mu,\quad \mathrm{SD}(\bar{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Passo 2

Pelo Teorema do Limite Central,
\bar{X}\approx N\Bigl(\mu,\;\sigma_{\bar X}^2\Bigr) \quad\text{onde}\quad \sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Passo 3

Calcular o erro padrão da média:
\sigma_{\bar X} =\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\frac{5,8}{\sqrt{47}} \approx 0,8464.

Passo 4

Padronizamos as extremidades do intervalo:
z_{\text{inf}} =\frac{52,761 - 54,030}{0,8464} \approx -1,50, \quad z_{\text{sup}} =\frac{54,453 - 54,030}{0,8464} \approx +0,50.

Passo 5

Usando a tabela da normal padrão:
\Phi(0,50)\approx 0,6915, \quad \Phi(-1,50)=1 - \Phi(1,50)\approx 1 - 0,9332 = 0,0668.
Logo,
P(-1,50 \le Z \le 0,50) =\Phi(0,50)-\Phi(-1,50) \approx 0,6915 - 0,0668 = 0,6247.

Resposta

P(52,761 \leq \bar{X} \leq 54,453)\approx 0,6247.

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