Determine os seguintes limites por meio dos caminhos indicados:
caminho
Passo 1
O enunciado pede o limite
ao longo do caminho dado por
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão a ser avaliada é
. - O ponto de interesse é
. - O caminho impõe a relação
, portanto ao longo do caminho temos e .
Passo 2
Vamos primeiro simplificar a expressão algébrica antes de substituir o caminho. Agrupando termos no numerador:
Fatorando
no primeiro parêntese e
no segundo:
Colocando fator comum
:
Passo 3
Agora o denominador, fazendo a mesma ideia:
Fatorando
e
:
Passo 4
Com as duas fatorações obtidas, a fração simplifica (para pontos com
) a
A simplificação é válida porque, ao aproximar
de
ao longo do caminho dado, trabalhamos com pontos próximos mas com
, de modo que podemos cancelar o fator
. Note também que após o cancelamento a expressão depende apenas de
.
Passo 5
Agora aplicamos o caminho
. Como ao longo desse caminho
quando
, o limite pedido é equivalente ao limite de uma função de uma variável
quando
:
Verifique que no ponto
o denominador vale
, logo não há problema de divisão por zero ao tomar o limite.
Passo 6
Avaliaremos o limite univariado substituindo
:
Portanto o limite ao longo do caminho indicado é
.