Determine os seguintes limites por meio dos caminhos indicados:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{x y^{2}-x-y^{2}+1}{x y^{3}+x-y^{3}-1} caminho y=1-x \quad

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\rightarrow(1,0)} \frac{x y^{2}-x-y^{2}+1}{x y^{3}+x-y^{3}-1}
ao longo do caminho dado por \,y=1-x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão a ser avaliada é \dfrac{x y^{2}-x-y^{2}+1}{x y^{3}+x-y^{3}-1}.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(1,0).
  • O caminho impõe a relação \,y=1-x, portanto ao longo do caminho temos x\to1 e y\to0.

Passo 2

Vamos primeiro simplificar a expressão algébrica antes de substituir o caminho. Agrupando termos no numerador:
x y^{2}-x-y^{2}+1 = (x y^{2}-y^{2}) + (-x+1).
Fatorando y^{2} no primeiro parêntese e -(x-1) no segundo:
(x y^{2}-y^{2}) + (-x+1) = y^{2}(x-1) - (x-1).
Colocando fator comum x-1:
y^{2}(x-1) - (x-1) = (x-1)(y^{2}-1).

Passo 3

Agora o denominador, fazendo a mesma ideia:
x y^{3}+x-y^{3}-1 = (x y^{3}-y^{3}) + (x-1).
Fatorando y^{3} e x-1:
(x y^{3}-y^{3}) + (x-1) = y^{3}(x-1) + (x-1) = (x-1)(y^{3}+1).

Passo 4

Com as duas fatorações obtidas, a fração simplifica (para pontos com x\neq1) a
\frac{x y^{2}-x-y^{2}+1}{x y^{3}+x-y^{3}-1} = \frac{(x-1)(y^{2}-1)}{(x-1)(y^{3}+1)} = \frac{y^{2}-1}{y^{3}+1}.
A simplificação é válida porque, ao aproximar (x,y) de (1,0) ao longo do caminho dado, trabalhamos com pontos próximos mas com x\neq1, de modo que podemos cancelar o fator x-1. Note também que após o cancelamento a expressão depende apenas de y.

Passo 5

Agora aplicamos o caminho \,y=1-x. Como ao longo desse caminho y\to0 quando x\to1, o limite pedido é equivalente ao limite de uma função de uma variável y quando y\to0:
\lim_{(x,y)\to(1,0),\,y=1-x} \frac{x y^{2}-x-y^{2}+1}{x y^{3}+x-y^{3}-1} = \lim_{y\to 0} \frac{y^{2}-1}{y^{3}+1}.
Verifique que no ponto y=0 o denominador vale 0^{3}+1=1\neq0, logo não há problema de divisão por zero ao tomar o limite.

Passo 6

Avaliaremos o limite univariado substituindo y=0:
\lim_{y\to 0} \frac{y^{2}-1}{y^{3}+1} = \frac{0^{2}-1}{0^{3}+1} = \frac{-1}{1} = -1.
Portanto o limite ao longo do caminho indicado é -1.

Resposta

-1

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