quando (x,y)\to(2,-1). Informações dadas e objetivo:
O ponto de interesse é (x,y)=(2,-1).
O caminho é a reta y=2x-5 (note que para x=2 obtemos y=2\cdot2-5=-1, então a reta passa pelo ponto).
Objetivo: calcular o limite ao aproximar (x,y) de (2,-1) seguindo y=2x-5. Portanto vamos substituir y por 2x-5 e estudar o limite de uma função de uma variável quando x\to2.
Passo 2
Explicação do método (por que posso fazer isso): ao fixar o caminho y=2x-5 estou reduzindo o problema a um limite unidimensional em x. Então definimos a função unidimensional
Portanto a forma é \tfrac{0}{0}, indeterminação. Precisamos de mais trabalho (fatorar e simplificar ou aplicar regra de l’Hôpital).]
Passo 4
Escolha do método para eliminar a indeterminação: como f(x) é uma razão de polinômios (após substituição) a função é diferenciável perto de x=2, então podemos usar a regra de l’Hôpital para limites unidimensionais: se \lim_{x\to a} N(x)=0 e \lim_{x\to a} D(x)=0 e N e D são diferenciáveis em um intervalo com ponto a, então
quando esse último limite existir. Aqui N(x) é o numerador e D(x) o denominador de f(x). Aplicaremos l’Hôpital diferenciando numerador e denominador em relação a x.
Passo 5
Derivada do numerador N(x)=x^{3}(2x-5)^{3}-2x^{2}(2x-5)^{2}+16.
Usando a regra do produto e regra da cadeia, derivamos termo a termo:
Interpretação rápida e encorajamento: o caminho dado leva a um limite bem definido e igual a 1. Bom trabalho — a abordagem de substituir o caminho e usar l’Hôpital em casos polinomiais costuma ser prática e confiável.