Determine os seguintes limites por meio dos caminhos indicados:
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,-1)} \frac{x^{3} y^{3}-2 x^{2} y^{2}+16}{2 x^{3} y^{3}+x^{2} y^{2}+12} caminho y=2 x-5 \quad

Passo 1

O enunciado pede o limite, ao longo do caminho y=2x-5, de
\frac{x^{3} y^{3}-2 x^{2} y^{2}+16}{2 x^{3} y^{3}+x^{2} y^{2}+12}
quando (x,y)\to(2,-1). Informações dadas e objetivo:
  • O ponto de interesse é (x,y)=(2,-1).
  • O caminho é a reta y=2x-5 (note que para x=2 obtemos y=2\cdot2-5=-1, então a reta passa pelo ponto).
  • Objetivo: calcular o limite ao aproximar (x,y) de (2,-1) seguindo y=2x-5. Portanto vamos substituir y por 2x-5 e estudar o limite de uma função de uma variável quando x\to2.

Passo 2

Explicação do método (por que posso fazer isso): ao fixar o caminho y=2x-5 estou reduzindo o problema a um limite unidimensional em x. Então definimos a função unidimensional
f(x)=\frac{x^{3}(2x-5)^{3}-2x^{2}(2x-5)^{2}+16}{2x^{3}(2x-5)^{3}+x^{2}(2x-5)^{2}+12},
e calculamos \lim_{x\to2} f(x). Se esse limite existir, ele é o valor do limite pedido ao longo do caminho dado.

Passo 3

Avaliação direta para ver se é indeterminado: primeiro fatoramos x^{2}(2x-5)^{2} nas partes polinomiais para simplificar a análise:
\begin{aligned} \text{numerador} &= x^{2}(2x-5)^{2}\bigl(x(2x-5)-2\bigr)+16,\\[4pt] \text{denominador} &= x^{2}(2x-5)^{2}\bigl(2x(2x-5)+1\bigr)+12. \end{aligned}
Avaliar em x=2 (correspondente ao ponto pedido):
x^{2}(2x-5)^{2}\big|_{x=2}=2^{2}\cdot(-1)^{2}=4.
Calcular os parênteses em x=2:
x(2x-5)-2\Big|_{x=2}=2\cdot(-1)-2=-4, \qquad 2x(2x-5)+1\Big|_{x=2}=4\cdot(-1)+1=-3.
Assim
\text{numerador}\Big|_{x=2}=4\cdot(-4)+16=0, \qquad \text{denominador}\Big|_{x=2}=4\cdot(-3)+12=0.
Portanto a forma é \tfrac{0}{0}, indeterminação. Precisamos de mais trabalho (fatorar e simplificar ou aplicar regra de l’Hôpital).]

Passo 4

Escolha do método para eliminar a indeterminação: como f(x) é uma razão de polinômios (após substituição) a função é diferenciável perto de x=2, então podemos usar a regra de l’Hôpital para limites unidimensionais: se \lim_{x\to a} N(x)=0 e \lim_{x\to a} D(x)=0 e N e D são diferenciáveis em um intervalo com ponto a, então
\lim_{x\to a}\frac{N(x)}{D(x)}=\lim_{x\to a}\frac{N'(x)}{D'(x)}
quando esse último limite existir. Aqui N(x) é o numerador e D(x) o denominador de f(x). Aplicaremos l’Hôpital diferenciando numerador e denominador em relação a x.

Passo 5

Derivada do numerador N(x)=x^{3}(2x-5)^{3}-2x^{2}(2x-5)^{2}+16.
Usando a regra do produto e regra da cadeia, derivamos termo a termo:
\begin{aligned} N'(x)&=3x^{2}(2x-5)^{3} + x^{3}\cdot 3(2x-5)^{2}\cdot 2\\[4pt] &\quad -2\Bigl(2x(2x-5)^{2}+x^{2}\cdot 2(2x-5)\cdot 2\Bigr)+0. \end{aligned}
Simplificando os fatores numéricos:
N'(x)=3x^{2}(2x-5)^{3}+6x^{3}(2x-5)^{2}-4x(2x-5)^{2}-8x^{2}(2x-5).
Agora avaliamos em x=2 (onde 2x-5=-1):
\begin{aligned} 3x^{2}(2x-5)^{3}\Big|_{2}&=3\cdot4\cdot(-1)^{3}=-12,\\[4pt] 6x^{3}(2x-5)^{2}\Big|_{2}&=6\cdot8\cdot1=48,\\[4pt] -4x(2x-5)^{2}\Big|_{2}&=-4\cdot2\cdot1=-8,\\[4pt] -8x^{2}(2x-5)\Big|_{2}&=-8\cdot4\cdot(-1)=32. \end{aligned}
Somando:
N'(2)=-12+48-8+32=60.]

Passo 6

Derivada do denominador D(x)=2x^{3}(2x-5)^{3}+x^{2}(2x-5)^{2}+12.
Derivando término a termo:
\begin{aligned} D'(x)&=2\Bigl(3x^{2}(2x-5)^{3}+x^{3}\cdot 3(2x-5)^{2}\cdot 2\Bigr)\\[4pt] &\quad +\Bigl(2x(2x-5)^{2}+x^{2}\cdot 2(2x-5)\cdot 2\Bigr)+0. \end{aligned}
Simplificando:
D'(x)=6x^{2}(2x-5)^{3}+12x^{3}(2x-5)^{2}+2x(2x-5)^{2}+4x^{2}(2x-5).
Avaliação em x=2 ( 2x-5=-1):
\begin{aligned} 6x^{2}(2x-5)^{3}\Big|_{2}&=6\cdot4\cdot(-1)=-24,\\[4pt] 12x^{3}(2x-5)^{2}\Big|_{2}&=12\cdot8\cdot1=96,\\[4pt] 2x(2x-5)^{2}\Big|_{2}&=2\cdot2\cdot1=4,\\[4pt] 4x^{2}(2x-5)\Big|_{2}&=4\cdot4\cdot(-1)=-16. \end{aligned}
Somando:
D'(2)=-24+96+4-16=60.]

Passo 7

Aplicando l’Hôpital (já que N(2)=D(2)=0 e derivadas existem), temos
\lim_{x\to2} f(x)=\lim_{x\to2}\frac{N(x)}{D(x)}=\frac{N'(2)}{D'(2)}=\frac{60}{60}=1.
Interpretação rápida e encorajamento: o caminho dado leva a um limite bem definido e igual a 1. Bom trabalho — a abordagem de substituir o caminho e usar l’Hôpital em casos polinomiais costuma ser prática e confiável.

Resposta

1

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