Resolva as equações diferenciais a seguir, todas da forma de Bernoulli. Inicialmente, identifique os coeficientes
e o expoente
, e em seguida utilize a substituição adequada para transformar a equação em uma equação linear e determine a solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que:
- sejam identificados os coeficientes
, e o expoente (na forma de Bernoulli); - seja feita a substituição adequada para transformar a equação em uma linear;
- seja encontrada a solução geral.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é da forma
. - A função
aparece multiplicando .
Passo 2
Identificar
,
e
comparando com a forma padrão
.
Escrevendo a equação dada como
temos:
Passo 3
Explicar a substituição de Bernoulli e aplicá-la: para
faz-se
Aqui
, então
e escolhemos
Agora calculamos
em termos de
e
. Derivando
obtemos
Queremos eliminar
da equação original; substituímos
na equação inicial.
Passo 4
Substituição na equação original e obtenção da equação linear para
.
A equação original é
Substituindo
dá
Dividindo ambos os lados por
(aqui estamos assumindo
; trataremos
separadamente) obtemos
Como
, isso fica
Multiplicando por
para ficar no formato padrão:
Portanto a substituição transformou a equação de Bernoulli numa equação linear de primeira ordem para
.
Passo 5
Resolver a equação linear
usando fator integrante.
Para uma equação linear do tipo
, o fator integrante é
Aqui
, então
Multiplicando a equação por
obtemos
que pode ser reconhecida como derivada do produto:
Integrando ambos os lados em relação a
,
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Calcular a integral
. Vamos fazer por partes duas vezes.
Defina
.
- Primeira integração por partes: tome
e . Então e . Assim
- Chame
. Integre por partes: tome , . Então , . Assim
- Volte para
:
Multiplicando por
para simplificar:
Assim
portanto
Passo 7
Retornar à solução para
e então para
.
Temos
Dividindo por
,
Lembrando
, obtemos para
Invertendo:
onde
é uma constante arbitrária real.
Não esquecer da solução trivial:
também satisfaz a equação original (verificando diretamente).