Resolva as equações diferenciais a seguir, todas da forma de Bernoulli. Inicialmente, identifique os coeficientes p(x), f(x) e o expoente n, e em seguida utilize a substituição adequada para transformar a equação em uma equação linear e determine a solução geral.
y^{\prime}-2 y=-\cos (x) y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' - 2y = -\cos(x)\,y^{2},
e pede que:
  • sejam identificados os coeficientes p(x), f(x) e o expoente n (na forma de Bernoulli);
  • seja feita a substituição adequada para transformar a equação em uma linear;
  • seja encontrada a solução geral.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é da forma y' + p(x)y = f(x) y^{n}.
  • A função \cos(x) aparece multiplicando y^{2}.

Passo 2

Identificar p(x), f(x) e n comparando com a forma padrão y' + p(x)y = f(x) y^{n}.
Escrevendo a equação dada como
y' + (-2)\,y = (-\cos x)\,y^{2},
temos:
p(x) = -2,\qquad f(x) = -\cos x,\qquad n = 2.

Passo 3

Explicar a substituição de Bernoulli e aplicá-la: para n\neq 0,1 faz-se
u = y^{1-n}.
Aqui n=2, então 1-n = -1 e escolhemos
u = y^{-1}=\frac{1}{y}.
Agora calculamos u' em termos de y e y'. Derivando u = y^{-1} obtemos
u' = -y^{-2}\,y'.
Queremos eliminar y' da equação original; substituímos y' = -y^{2}u' na equação inicial.

Passo 4

Substituição na equação original e obtenção da equação linear para u.
A equação original é
y' - 2y = -\cos x\,y^{2}.
Substituindo y' = -y^{2}u'
- y^{2} u' - 2y = -\cos x\, y^{2}.
Dividindo ambos os lados por y^{2} (aqui estamos assumindo y\neq 0; trataremos y\equiv0 separadamente) obtemos
- u' - 2\frac{y}{y^{2}} = -\cos x.
Como \dfrac{y}{y^{2}}=\dfrac{1}{y}=u, isso fica
- u' - 2u = -\cos x.
Multiplicando por -1 para ficar no formato padrão:
u' + 2u = \cos x.
Portanto a substituição transformou a equação de Bernoulli numa equação linear de primeira ordem para u.

Passo 5

Resolver a equação linear u' + 2u = \cos x usando fator integrante.
Para uma equação linear do tipo u' + a(x) u = b(x), o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int a(x)\,dx\right).
Aqui a(x)=2, então
\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
e^{2x}u' + 2e^{2x}u = e^{2x}\cos x,
que pode ser reconhecida como derivada do produto:
\bigl(e^{2x}u\bigr)' = e^{2x}\cos x.
Integrando ambos os lados em relação a x,
e^{2x}u = \int e^{2x}\cos x\,dx + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 6

Calcular a integral \displaystyle\int e^{2x}\cos x\,dx. Vamos fazer por partes duas vezes.
Defina I=\int e^{2x}\cos x\,dx.
  1. Primeira integração por partes: tome A=\cos x e dB=e^{2x}dx. Então dA=-\sin x\,dx e B=\frac{e^{2x}}{2}. Assim
I=\frac{e^{2x}\cos x}{2} + \frac{1}{2}\int e^{2x}\sin x\,dx.
  1. Chame J=\int e^{2x}\sin x\,dx. Integre J por partes: tome A=\sin x, dB=e^{2x}dx. Então dA=\cos x\,dx, B=\frac{e^{2x}}{2}. Assim
J=\frac{e^{2x}\sin x}{2} - \frac{1}{2}\int e^{2x}\cos x\,dx = \frac{e^{2x}\sin x}{2} - \frac{1}{2}I.
  1. Volte para I:
I=\frac{e^{2x}\cos x}{2} + \frac{1}{2}J = \frac{e^{2x}\cos x}{2} + \frac{1}{2}\left(\frac{e^{2x}\sin x}{2} - \frac{1}{2}I\right).
Multiplicando por 4 para simplificar:
4I = 2e^{2x}\cos x + e^{2x}\sin x - I.
Assim
5I = e^{2x}\bigl(2\cos x + \sin x\bigr),
portanto
I = \frac{e^{2x}\bigl(2\cos x + \sin x\bigr)}{5}.

Passo 7

Retornar à solução para u e então para y.
Temos
e^{2x}u = \frac{e^{2x}\bigl(2\cos x + \sin x\bigr)}{5} + C.
Dividindo por e^{2x},
u = \frac{2\cos x + \sin x}{5} + C e^{-2x}.
Lembrando u=\dfrac{1}{y}, obtemos para y\neq 0
\frac{1}{y} = \frac{2\cos x + \sin x}{5} + C e^{-2x}.
Invertendo:
y(x)=\frac{1}{\dfrac{2\cos x + \sin x}{5} + C e^{-2x}} = \frac{5}{2\cos x + \sin x + C' e^{-2x}},
onde C'=5C é uma constante arbitrária real.
Não esquecer da solução trivial: y\equiv 0 também satisfaz a equação original (verificando diretamente).

Resposta

y(x)=\dfrac{5}{2\cos x + \sin x + C e^{-2x}},\quad C\in\mathbb{R}\n
y(x)\equiv 0

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