Determine barA, Re(A), Im(A), det(A) e tr(A) para as seguintes matrizes:
A=[cc-5 i & 4 2-i & 1+5 i]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz conjugada de A , a parte real de A , a parte imaginária de A , o determinante de A e a traça de A . Para isso, vamos usar conceitos básicos de matrizes com números complexos. Vamos precisar saber como encontrar o conjugado de um número complexo, separar as partes real e imaginária, e calcular determinantes e traças de matrizes 2x2.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz conjugada de A . O conjugado de uma matriz é obtido tirando o conjugado complexo de cada elemento dela.
Lembra que o conjugado de um número complexo a + bi é a - bi . Então, vamos aplicar isso a cada elemento da matriz A :
A = -5i & 4 2 - i & 1 + 5i
Aplicando o conjugado:
A = -5i & 4 2 - i & 1 + 5i = 5i & 4 2 + i & 1 - 5i

Passo 3

Agora, vamos separar a parte real de A . A parte real de uma matriz é formada pelos termos reais de cada elemento da matriz original.
Olhemos para cada elemento de A :
A = -5i & 4 2 - i & 1 + 5i
Extraindo as partes reais:
Re(A) = 0 & 4 2 & 1
Aqui, note que o termo -5i tem parte real 0, 4 tem parte real 4, 2 - i tem parte real 2 e 1 + 5i tem parte real 1.

Passo 4

Agora, vamos separar a parte imaginária de A . A parte imaginária de uma matriz é formada pelos termos imaginários de cada elemento da matriz original.
De novo, olhando para cada elemento de A :
A = -5i & 4 2 - i & 1 + 5i
Extraindo as partes imaginárias:
Im(A) = -5 & 0 -1 & 5
Aqui, o termo -5i tem parte imaginária -5, 4 tem parte imaginária 0, 2 - i tem parte imaginária -1 e 1 + 5i tem parte imaginária 5.

Passo 5

Vamos calcular o determinante de A . Para uma matriz 2x2:
A = a & b c & d
O determinante é dado por:
det(A) = ad - bc
Aplicando isso à nossa matriz:
a = -5i, b = 4, c = 2 - i, d = 1 + 5i
Calculando ad :
(-5i)(1 + 5i) = -5i cdot 1 + (-5i)(5i) = -5i - 25i^2
Lembrando que i^2 = -1 :
-5i - 25(-1) = -5i + 25
Então, ad = 25 - 5i .
Agora, calculando bc :
4(2 - i) = 8 - 4i
Finalmente, o determinante é:
det(A) = (25 - 5i) - (8 - 4i) = 25 - 5i - 8 + 4i = 17 - i

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a traça de A . A traça de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal.
Para nossa matriz:
A = -5i & 4 2 - i & 1 + 5i
Os elementos da diagonal principal são -5i e 1 + 5i. Somando eles:
tr(A) = -5i + (1 + 5i) = 1

Resposta

A = 5i & 4 2 + i & 1 - 5i , Re(A) = 0 & 4 2 & 1 , Im(A) = -5 & 0 -1 & 5 ,
det(A) = 17 - i, tr(A) = 1

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