Por meio de uma translação dos eixos coordenados, reescreva as equações das cônicas abaixo no sistema de coordenadas u O v, em que O é o centro: C: x^2-2 x y+y^2-4=0 e O=(1,2).

Passo 1

Queremos mudar o sistema de coordenadas de (x,y) para (u,v) de modo que a nova origem O seja o ponto (1,2) do sistema original. Para isso, definimos
u = x - 1, v = y - 2,
ou seja,
x = u + 1, y = v + 2

Passo 2

Substituímos x=u+1 e y=v+2 na equação original
x^2-2xy+y^2-4=0
Fica
(u+1)^2 - 2(u+1)(v+2) + (v+2)^2 - 4 = 0

Passo 3

Expandindo cada termo:
(u+1)^2 = u^2 + 2u + 1, -2(u+1)(v+2) = -2uv -4u -2v -4, (v+2)^2 = v^2 + 4v + 4

Passo 4

Somando tudo e coletando termos semelhantes:
u^2 + 2u + 1 ;+; (-2uv -4u -2v -4);+; v^2 + 4v + 4 ;-; 4 = 0
Longrightarrow u^2 -2uv + v^2 + (2u -4u) +(-2v +4v) + (1-4+4-4)=0
Longrightarrow u^2 - 2uv + v^2 - 2u + 2v - 3 = 0

Resposta

u^2 ;-; 2,u,v ;+; v^2 ;-; 2u ;+; 2v ;-; 3 ;=; 0

Exercícios relacionados