Para os vetores u=(1+i, 4,3 i), v=(3,-4 i, 2+3 i) e w=(1-i, 4 i, 4-5 i), calcule lang<=overlinei u, wrang<=+lang<= | u|v, urang<=.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores complexos u, v e w e precisamos calcular uma expressão que envolve produtos internos, conjugados e módulos desses vetores. Para isso, vamos precisar entender como funciona o produto interno no espaço vetorial com números complexos, além de lidar com conjugados e normas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular i u. Isso significa multiplicar cada componente do vetor u por i e depois pegar o conjugado de cada resultado.
Dado u = (1 + i, 4, 3i),
i u = (i(1 + i), 4i, 3i cdot i) = (i + i^2, 4i, 3i^2)
Sabendo que i^2 = -1,
i u = (i - 1, 4i, -3)
Agora, pegamos o conjugado de cada componente:
i u = (-1 - i, -4i, -3)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno lang<= i u, w rang<=. O produto interno de vetores complexos é dado por:
lang<= a, b rang<= = sumk=1^n ak bk
Então, substituindo nossos vetores:
lang<= i u, w rang<= = (-1 - i)(1 - i) + (-4i)(4i) + (-3)(4 - 5i)
Calculando cada conjugado:
1 - i = 1 + i, 4i = -4i, 4 - 5i = 4 + 5i
Substituindo:
(-1 - i)(1 + i) + (-4i)(-4i) + (-3)(4 + 5i)
vamos resolver cada termo:
(-1 - i)(1 + i) = -1 - i + (-i) - i^2 = -1 - 2i +1 = -2i
(-4i)(-4i) = 16i^2 = -16
(-3)(4 + 5i) = -12 -15i
Somando tudo:
-2i -16 -12 -15i = -28 -17i
Então,
lang<= i u, w rang<= = -28 -17i

Passo 4

Vamos calcular agora |u|, que é a norma do vetor u. A norma é dada por:
|u| = raizlang<= u, u rang<=
Primeiro, calculamos o produto interno lang<= u, u rang<=:
lang<= u, u rang<= = (1 + i)(1 + i) + 4 cdot 4 + 3i cdot 3i
Calculando os conjugados:
1 + i = 1 - i, 4 = 4, 3i = -3i
Substituindo:
(1 + i)(1 - i) + 4 cdot 4 + 3i cdot (-3i) = (1 - i^2) + 16 -9i^2 = (1 +1) + 16 +9 = 27
Portanto,
|u| = raiz27 = 3raiz3

Passo 5

Agora, vamos multiplicar o módulo de u pelo vetor v:
|u| v = 3raiz3 cdot (3, -4i, 2 + 3i) = (9raiz3, -12raiz3i, 6raiz3 + 9raiz3i)

Passo 6

Em seguida, calculamos o produto interno lang<= |u| v, u rang<=:
lang<= |u| v, u rang<= = (9raiz3)(1 + i) + (-12raiz3i)(4) + (6raiz3 + 9raiz3i)(3i)
Calculando os conjugados:
1 + i = 1 - i, 4 = 4, 3i = -3i
Substituindo:
9raiz3(1 - i) + (-12raiz3i)(4) + (6raiz3 + 9raiz3i)(-3i)
Distribuindo:
9raiz3 - 9raiz3i -48raiz3i -18raiz3i + (-27raiz3i^2)
Lembrando que i^2 = -1:
9raiz3 -9raiz3i -48raiz3i -18raiz3i +27raiz3
Somando os termos:
(9raiz3 +27raiz3) + (-9raiz3i -48raiz3i -18raiz3i) = 36raiz3 -75raiz3i
Então,
lang<= |u| v, u rang<= = 36raiz3 -75raiz3i

Passo 7

Agora, vamos somar os dois produtos internos que calculamos:
lang<= i u, w rang<= + lang<= |u| v, u rang<= = (-28 -17i) + (36raiz3 -75raiz3i)
Somando os termos semelhantes:
(36raiz3 -28) + (-17i -75raiz3i) = (36raiz3 -28) - (17 +75raiz3)i

Passo 8

Por fim, precisamos pegar o conjugado dessa soma:
(36raiz3 -28) - (17 +75raiz3)i = (36raiz3 -28) + (17 +75raiz3)i
Então, a expressão final fica:
(36raiz3 -28) + (17 +75raiz3)i

Resposta

A expressão calculada é
(36raiz3 - 28) + (17 + 75raiz3),i

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