(Questão 03)[3,0 pontos] Utilizando translaçōes e rotações, reduza a equação abaixo a uma forma mais simples e identifique a conica correspondente:
Passo 1
O enunciado apresenta a cônica
e pede que a reduzamos a uma forma mais simples usando uma rotação de eixos para eliminar o termo misto
e depois uma translação para eliminar os termos lineares em
e
.
Passo 2
Identificamos os coeficientes da forma geral
:
Para eliminar o termo
fazemos uma rotação de eixos de ângulo
em que
Logo
e daí
com ambos positivos para garantir
no primeiro quadrante.
Passo 3
Fazemos a rotação
e, usando as fórmulas padrões de rotação, obtemos a parte quadrática sem termo misto:
Os coeficientes dos termos lineares transformam-se em
e o termo constante permanece
. Assim a equação em
fica
Passo 4
Para eliminar os termos lineares fazemos a translação
com
e
escolhidos de modo que os coeficientes de
e
se anulem:
Passo 5
Substituindo
e
na equação de Passo 3, todos os termos lineares se anulam e o termo constante também fica zero. Sobram apenas
Resposta
A forma reduzida da cônica é
que se fatoriza em
. Trata-se, portanto, de uma hipérbole degenerada, i.e., de um par de retas que se cruzam.