(Questão 03)[3,0 pontos] Utilizando translaçōes e rotações, reduza a equação abaixo a uma forma mais simples e identifique a conica correspondente:
7 x^{2}+6 x y-y^{2}+28 x+12 y+28=0

Passo 1

O enunciado apresenta a cônica
7x^{2}+6xy-y^{2}+28x+12y+28=0
e pede que a reduzamos a uma forma mais simples usando uma rotação de eixos para eliminar o termo misto xy e depois uma translação para eliminar os termos lineares em x e y.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma geral Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0:
A=7,\quad B=6,\quad C=-1,\quad D=28,\quad E=12,\quad F=28.
Para eliminar o termo xy fazemos uma rotação de eixos de ângulo \theta em que
\tan2\theta=\frac{B}{A-C}=\frac{6}{7-(-1)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.
Logo
\cos2\theta=\frac{4}{5},\quad \sin2\theta=\frac{3}{5},
e daí
\cos\theta=\sqrt{\frac{1+\cos2\theta}{2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}, \quad \sin\theta=\sqrt{\frac{1-\cos2\theta}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}},
com ambos positivos para garantir 2\theta no primeiro quadrante.

Passo 3

Fazemos a rotação
\begin{cases} x = X\cos\theta - Y\sin\theta,\\\ y = X\sin\theta + Y\cos\theta, \end{cases}
e, usando as fórmulas padrões de rotação, obtemos a parte quadrática sem termo misto:
8X^{2}-2Y^{2}.
Os coeficientes dos termos lineares transformam-se em
D'=D\cos\theta+E\sin\theta=\frac{96}{\sqrt{10}}, \quad E'=-D\sin\theta+E\cos\theta=\frac{8}{\sqrt{10}},
e o termo constante permanece F=28. Assim a equação em (X,Y) fica
8X^{2}-2Y^{2}+\frac{96}{\sqrt{10}}\,X+\frac{8}{\sqrt{10}}\,Y+28=0.

Passo 4

Para eliminar os termos lineares fazemos a translação
X = u + h,\quad Y = v + k,
com h e k escolhidos de modo que os coeficientes de u e v se anulem:
\frac{\partial}{\partial u}: 16h+\frac{96}{\sqrt{10}}=0 \quad\Rightarrow\quad h=-\frac{6}{\sqrt{10}},
\frac{\partial}{\partial v}: -4k+\frac{8}{\sqrt{10}}=0 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{2}{\sqrt{10}}.

Passo 5

Substituindo X=u+h e Y=v+k na equação de Passo 3, todos os termos lineares se anulam e o termo constante também fica zero. Sobram apenas
8\,u^{2}-2\,v^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 4\,u^{2}-v^{2}=0.

Resposta

A forma reduzida da cônica é
4u^{2}-v^{2}=0,
que se fatoriza em \,(2u-v)(2u+v)=0. Trata-se, portanto, de uma hipérbole degenerada, i.e., de um par de retas que se cruzam.

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