Determine se as seguintes matrizes são inversíveis. Em caso afirmativo, calcule a inversa.
\left(\begin{array}{cc}-1 & -2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\[6pt] 2 & 1 \end{pmatrix}
e pede para verificar se ela é inversível e, em caso afirmativo, encontrar A^{-1}. O conteúdo aqui é cálculo de determinante e aplicação da fórmula da inversa para matrizes 2\times2.]

Passo 2

Para saber se A é inversível, calculamos o determinante usando a fórmula
\det(A) = a d - b c
onde, na nossa matriz, a=-1, b=-2, c=2 e d=1. Logo,
\det(A) = (-1)\cdot1 - (-2)\cdot2 = -1 - (-4) = -1 + 4 = 3.

Passo 3

Como \det(A)=3\neq0, concluímos que A é inversível.

Passo 4

Para uma matriz 2\times2, a inversa é dada por
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\[4pt] -c & a \end{pmatrix}.
Substituindo a=-1, b=-2, c=2, d=1 e \det(A)=3, temos
A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[4pt] -2 & -1 \end{pmatrix}.]

Resposta

A \text{ é inversível e } A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[4pt] -2 & -1 \end{pmatrix}.éí]

Exercícios relacionados