Determine se as seguintes matrizes são inversíveis. Em caso afirmativo, calcule a inversa.
\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 2 \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ 4 & 8 & -5\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 2\\\\ 2 & 1 & -1\\\\ 4 & 8 & -5 \end{pmatrix}
é invertível. Isso envolve calcular o determinante de A. Se \det(A)\neq0, concluímos que A é invertível e, em seguida, obtemos A^{-1} usando a fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A),
onde \mathrm{adj}(A) é a matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores).

Passo 2

Vamos calcular o determinante de A por expansão na primeira linha:
\det(A) = -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 8 & -5\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 4 & -5\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 4 & 8\end{pmatrix}.
Cada menor é
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 8 & -5\end{pmatrix} =1\cdot(-5)-(-1)\cdot8=3,
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 4 & -5\end{pmatrix} =2\cdot(-5)-(-1)\cdot4=-6,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 4 & 8\end{pmatrix} =2\cdot8-1\cdot4=12.
Logo,
\det(A) = -1\cdot3 + 2\cdot(-6) + 2\cdot12 = -3 -12 +24 = 9.

Passo 3

Como \det(A)=9\neq0, a matriz A é invertível.

Passo 4

Agora calculamos a matriz de cofatores C = (C_{ij}). Para cada elemento a_{ij}, C_{ij}=(-1)^{i+j} vezes o determinante do menor obtido ao suprimir a linha i e a coluna j. O resultado é
C = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 12\\\\ 6 & -3 & 0\\\\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 5

A matriz adjunta de A é a transposta de C:
\mathrm{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 0\\\\ 6 & -3 & 3\\\\ 12 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 6

Finalmente, a inversa de A é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A) = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 3 & 6 & 0\\\\ 6 & -3 & 3\\\\ 12 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0\\\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\\ \frac{4}{3} & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.

Resposta

A matriz é invertível e
A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0\\\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\\ \frac{4}{3} & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.

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