Determine se as seguintes matrizes são inversíveis. Em caso afirmativo, calcule a inversa.
\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\\\ 5 & 8\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ 5 & 8\end{pmatrix}
é invertível e, em caso afirmativo, calcular A^{-1}. O conteúdo aqui é determinante de matriz 2\times2 e a fórmula da inversa nessa dimensão.

Passo 2

Lembrando que, para
A = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
o determinante é
\det(A) = ad - bc.

Passo 3

No nosso caso, a=2, b=3, c=5 e d=8. Portanto,
\det(A) = 2\cdot 8 - 3\cdot 5 = 16 - 15 = 1.

Passo 4

Como \det(A)=1\neq 0, concluímos que A é invertível. Para matrizes 2\times2, a fórmula da inversa é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix}.

Passo 5

Substituindo \det(A)=1 e os valores de a,b,c,d, obtemos
A^{-1} = 1\cdot \begin{pmatrix}8 & -3 \\\\ -5 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 & -3 \\\\ -5 & 2\end{pmatrix}.

Resposta

A matriz é invertível e
A^{-1} = \begin{pmatrix}8 & -3 \\\\ -5 & 2\end{pmatrix}.

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