Sejam A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\\\ 2 & -1 & 1 \\\\ 4 & 0 & 1\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 2 \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ 4 & 8 & -5\end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right).
(a) Calcule A B, B A.
(b) Sem fazer novos cálculos, encontre A^{-1}
(c) Calcule D=A C A^{-1} e E=A A^{-1} C.
(d) Calcule, evitando fazer muitas contas, D^{-1}, E^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 2 & -1 & 1\\\\ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} -1 & -2 & 2\\\\ 2 & 1 & -1\\\\ 4 & 8 & -5 \end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Precisamos usar multiplicação de matrizes, inversão (pela relação com B) e propriedades de semelhança de matrizes.

Passo 2

Calcular AB e BA. Fazendo o produto linha-coluna, obtém-se
AB=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}=3I_3, \qquad BA=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}=3I_3.

Passo 3

Como AB=3I_3, multiplica-se à esquerda por A^{-1} para ver que
B=3A^{-1} \quad\Longrightarrow\quad A^{-1}=\frac{1}{3}B.

Passo 4

Para
D = A\,C\,A^{-1},
note que A^{-1}=\tfrac13B e primeiro calcule AC (multiplicando cada coluna de A pelos valores de C):
AC=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0\\\\ -2 & -1 & 2\\\\ -4 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Em seguida
D = A\,C\,A^{-1} =\frac{1}{3}(AC)\,B =\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 5 & 4 & -4\\\\ 8 & 19 & -13\\\\ 12 & 24 & -18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{3} & \frac{4}{3} & -\frac{4}{3}\\[0.3em] \frac{8}{3} & \frac{19}{3} & -\frac{13}{3}\\[0.3em] 4 & 8 & -6 \end{pmatrix}.
Para
E = A\,A^{-1}\,C,
vê-se que A\,A^{-1}=I_3, logo
E=C=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Usando (PQP^{-1})^{-1}=P\,Q^{-1}P^{-1}, temos
D^{-1}=A\,C^{-1}\,A^{-1},
enquanto
E^{-1}=C^{-1} =\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) AB=BA=3I_3.
(b) A^{-1}=\tfrac{1}{3}B.
(c)
D = \begin{pmatrix} \frac{5}{3} & \frac{4}{3} & -\frac{4}{3}\\[0.3em] \frac{8}{3} & \frac{19}{3} & -\frac{13}{3}\\[0.3em] 4 & 8 & -6 \end{pmatrix}, \quad E=C=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
(d)
D^{-1}=A\,C^{-1}\,A^{-1}, \quad E^{-1}=C^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac12 \end{pmatrix}.]

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