(a) Sejam A, B, C matrizes m \times m, com A inversível. Mostre que se A B=A C, então B=C.
(b) Existe alguma matriz inversível A tal que A^{2}=0 ?
(c) Dê um exemplo de uma matriz A tal que A^{2}=0.
Passo 1
O enunciado tem três partes envolvendo matrizes quadradas m\times m:
(1) Provar a propriedade de cancelamento à esquerda quando uma matriz A é inversível;
(2) Verificar se existe alguma matriz inversível A que satisfaça A^2=0;
(3) Dar um exemplo concreto de matriz A (não necessariamente inversível) tal que A^2=0.
Para isso vamos usar conceitos de inversibilidade (e existência de A^{-1}) e propriedades do determinante (no item b), além de construir um exemplo de matriz nilpotente (item c).
Passo 2
Para mostrar que, se A é inversível e AB=AC, então B=C, basta multiplicar a igualdade AB=AC pela esquerda por A^{-1}. Como A^{-1}A=I, temos
A^{-1}(AB)=A^{-1}(AC)
( A^{-1}A )B=( A^{-1}A )C
I\,B=I\,C
logo B=C.
Passo 3
Suponha, por absurdo, que exista uma matriz inversível A com A^2=0. Como A é inversível, \det(A)\neq0. Mas então
\det(A^2)=\det(A)^2\neq0,
o que implicaria \det(A^2)\neq0 e, portanto, A^2 seria inversível e em particular não poderia ser a matriz nula. Isso contraria A^2=0. Concluímos que não existe matriz inversível A tal que A^2=0.
Passo 4
Um exemplo clássico de matriz (não inversível) que satisfaz A^2=0 é a matriz nilpotente de ordem 2:
A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
(a) Multiplicando AB=AC pela esquerda por A^{-1} obtemos B=C.
(b) Não existe matriz inversível A com A^2=0, pois isso implicaria \det(A^2)=\det(A)^2\neq0, contradizendo A^2=0.
(c) Um exemplo é
A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix},