Determine se as seguintes matrizes são inversíveis. Em caso afirmativo, calcule a inversa.
\left(\begin{array}{ccc}3 & 7 & 2 \\\\ 1 & 1 & -5 \\\\ 5 & 1 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 2\\\\ 1 & 1 & -5\\\\ 5 & 1 & 0 \end{pmatrix}
é inversível e, em caso afirmativo, calcular A^{-1}.
O critério de invertibilidade é \det(A)\neq0. Para achar A^{-1} usamos a fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz transposta da matriz de cofatores de A.

Passo 2

Calculamos \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) =3\det\begin{pmatrix}1 & -5\\\ 1 & 0\end{pmatrix} -7\det\begin{pmatrix}1 & -5\\\ 5 & 0\end{pmatrix} +2\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 5 & 1\end{pmatrix}.
Cada determinante 2\times2 vale
\det\begin{pmatrix}1 & -5\\\ 1 & 0\end{pmatrix} =1\cdot0 -(-5)\cdot1 =5,
\det\begin{pmatrix}1 & -5\\\ 5 & 0\end{pmatrix} =1\cdot0 -(-5)\cdot5 =25,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 5 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 -1\cdot5 =-4.
Logo
\det(A)=3\cdot5 \;-\;7\cdot25\;+\;2\cdot(-4) =15-175-8=-168.

Passo 3

Como \det(A)=-168\neq0, a matriz A é inversível.

Passo 4

Agora calculamos a matriz de cofatores C=(C_{ij}), onde
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
e M_{ij} é o menor complementar de a_{ij}. Os cofatores são:
C = \begin{pmatrix} \phantom{-}5 & -25 & -4 \\\ \phantom{-}2 & -10 & 32 \\\\ -37 & 17 & -4 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} \phantom{-}5 & \phantom{-}2 & -37 \\\\ -25 & -10 & \phantom{-}17 \\\\ -4 & \phantom{-}32 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = -\frac{1}{168} \begin{pmatrix} 5 & 2 & -37\\\\ -25 & -10 & 17\\\\ -4 & 32 & -4 \end{pmatrix}.
Simplificando cada entrada, obtemos
A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{5}{168} & -\tfrac{1}{84} & \tfrac{37}{168} \\\ \tfrac{25}{168} & \tfrac{5}{84} & -\tfrac{17}{168} \\\ \tfrac{1}{42} & -\tfrac{4}{21} & \tfrac{1}{42} \end{pmatrix}.

Resposta

A matriz é inversível e
A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{5}{168} & -\tfrac{1}{84} & \tfrac{37}{168} \\\ \tfrac{25}{168} & \tfrac{5}{84} & -\tfrac{17}{168} \\\ \tfrac{1}{42} & -\tfrac{4}{21} & \tfrac{1}{42} \end{pmatrix}.

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