Determine se as seguintes matrizes são inversíveis. Em caso afirmativo, calcule a inversa.
\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
é inversível e, em caso afirmativo, calcular a inversa. Vamos usar o critério do determinante para invertibilidade e depois explorar a propriedade de matrizes de permutação.

Passo 2

Sabemos que uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero:
\det(M)\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad M\text{ é inversível.}éí

Passo 3

A matriz M é um permutation matrix que troca a primeira e a terceira coordenada, ou seja, corresponde a uma transposição. O determinante de uma transposição é -1. Logo,
\det(M) = -1 \neq 0.

Passo 4

Outra forma de ver a inversa é notar que aplicar a mesma transposição duas vezes retorna à ordem original. Isto é,
M^2 = M \cdot M = I_3.
Da propriedade de matrizes inversíveis segue que M^{-1} é justamente a matriz que satisfaça M^{-1}M=I. Como M^2=I, temos
M^{-1} = M.

Resposta

A matriz é inversível e
M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados