Determine se as seguintes matrizes são inversíveis. Em caso afirmativo, calcule a inversa.
\left(\begin{array}{ccc}-3 & -1 & 5 \\\\ -2 & -7 & -1 \\\\ 2 & 4 & -1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz quadrada de ordem 3
M = \begin{pmatrix} -3 & -1 & 5\\\\ -2 & -7 & -1\\\\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix}
e pede para verificar se ela é inversível (isto é, se \det(M)\neq 0) e, em caso afirmativo, calcular M^{-1}. Vamos usar o cálculo do determinante por expansão e depois a fórmula da inversa via matriz adjunta.

Passo 2

Calcular o determinante de M pela expansão na primeira linha:
\det(M) = -3\cdot\det\begin{pmatrix}-7 & -1\\\ 4 & -1\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -1\\\ 2 & -1\end{pmatrix} +5\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -7\\\ 2 & 4\end{pmatrix}.
Para cada menor: \det\begin{pmatrix}-7 & -1\\\ 4 & -1\end{pmatrix} =(-7)(-1)-(-1)\cdot4=7+4=11, \det\begin{pmatrix}-2 & -1\\\ 2 & -1\end{pmatrix} =(-2)(-1)-(-1)\cdot2=2+2=4, \det\begin{pmatrix}-2 & -7\\\ 2 & 4\end{pmatrix} =(-2)\cdot4-(-7)\cdot2=-8+14=6.
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\det(M)=-3\cdot11 -(-1)\cdot4 +5\cdot6 = -33 +4 +30 = 1\neq0.

Passo 3

Como \det(M)=1, M é inversível. Vamos formar a matriz de cofatores C=(C_{ij}) com
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M\text{ sem a linha }i\text{ e coluna }j).
O cálculo dá
C = \begin{pmatrix} 11 & -4 & 6\\\\ 19 & -7 & 10\\\\ 36 & -13 & 19 \end{pmatrix}.
A matriz adjunta é a transposta de C:
\operatorname{adj}(M)=C^{T} =\begin{pmatrix} 11 & 19 & 36\\\\ -4 & -7 & -13\\\\ 6 & 10 & 19 \end{pmatrix}.

Passo 4

A inversa de M é
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\,\operatorname{adj}(M) =\operatorname{adj}(M),
pois \det(M)=1.

Resposta

M^{-1} =\begin{pmatrix} 11 & 19 & 36\\\\ -4 & -7 & -13\\\\ 6 & 10 & 19 \end{pmatrix}.

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