Determine se as seguintes matrizes são inversíveis. Em caso afirmativo, calcule a inversa.
\left(\begin{array}{cccc}0 & 5 & 0 & 6 \\\\ 7 & 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 6 & 0 & -12 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 0 & 6 \\[6pt] 7 & 0 & 3 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & 0 & 1 \\[6pt] 6 & 0 & -12 & 0 \end{pmatrix}
é invertível e, em caso afirmativo, encontrar A^{-1}. O método que vamos usar envolve particionar A em blocos 2\times2 e aplicar a fórmula da inversa de matrizes em blocos via complemento de Schur.]

Passo 2

Particionamos
A = \begin{pmatrix} M & N \\[3pt] P & Q \end{pmatrix},
onde
M = \begin{pmatrix}0 & 5\\[3pt]7 & 0\end{pmatrix},\quad N = \begin{pmatrix}0 & 6\\[3pt]3 & 0\end{pmatrix},\quad P = \begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]6 & 0\end{pmatrix},\quad Q = \begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]-12 & 0\end{pmatrix}.
Primeiro verificamos que \det M = -35\neq0, logo M é invertível.]

Passo 3

Calculamos
M^{-1} = \frac{1}{\det M} \begin{pmatrix}0 & -5\\[3pt]-7 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \tfrac1{7}\\[3pt]\tfrac1{5} & 0\end{pmatrix}.
Em seguida, o complemento de Schur é
S = Q - P\,M^{-1}N = \begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]-12 & 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 & \tfrac{6}{5}\\[3pt]\tfrac{18}{7} & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -\tfrac{1}{5}\\[3pt]-\tfrac{102}{7} & 0\end{pmatrix}.
Calculamos \det S = -\tfrac{102}{35}\neq0, logo S também é invertível e, portanto, A é invertível.]

Passo 4

Encontramos
S^{-1} = \frac{1}{\det S} \begin{pmatrix}0 & \tfrac{1}{5}\\[3pt]\tfrac{102}{7} & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -\tfrac{7}{102}\\[3pt]-5 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Usamos a fórmula da inversa em blocos:
A^{-1} = \begin{pmatrix} M^{-1} + M^{-1}N\,S^{-1}P\,M^{-1} & -\,M^{-1}N\,S^{-1}\\[6pt] -\,S^{-1}P\,M^{-1} & S^{-1} \end{pmatrix}.
Cálculos intermediários fornecem
M^{-1} + M^{-1}N\,S^{-1}P\,M^{-1} = \begin{pmatrix}0 & \tfrac{2}{17}\\[3pt]-1 & 0\end{pmatrix},\quad -\,M^{-1}N\,S^{-1} = \begin{pmatrix}0 & \tfrac{1}{34}\\[3pt]6 & 0\end{pmatrix},
-\,S^{-1}P\,M^{-1} = \begin{pmatrix}0 & \tfrac{1}{17}\\[3pt]1 & 0\end{pmatrix},\quad S^{-1} = \begin{pmatrix}0 & -\tfrac{7}{102}\\[3pt]-5 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora montamos A^{-1} como matriz 4\times4 reunindo os quatro blocos:
A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{2}{17} & 0 & \tfrac{1}{34}\\[6pt] -1 & 0 & 6 & 0\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{17} & 0 & -\tfrac{7}{102}\\[6pt] 1 & 0 & -5 & 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

A matriz é invertível e
A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{2}{17} & 0 & \tfrac{1}{34}\\[6pt] -1 & 0 & 6 & 0\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{17} & 0 & -\tfrac{7}{102}\\[6pt] 1 & 0 & -5 & 0 \end{pmatrix}.]

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