Determine se as seguintes matrizes são inversíveis. Em caso afirmativo, calcule a inversa.
\left(\begin{array}{cc}1+i & 2 i \\\\ -i & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz complexa
A = \begin{pmatrix}1+i & 2i \\[6pt] -i & 1\end{pmatrix}
e pede para verificar se A é inversível e, em caso afirmativo, calcular A^{-1}.
O que precisamos: calcular o determinante de uma matriz 2\times2 e, se for não nulo, aplicar a fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[3pt]-c & a\end{pmatrix},
onde A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}.]

Passo 2

Identificando a=1+i, b=2i, c=-i, d=1, calculamos
\det(A) = a\,d - b\,c = (1+i)\cdot1 - (2i)\cdot(-i) = 1 + i + 2i^2 = 1 + i + 2(-1) = -1 + i.

Passo 3

Como \det(A) = -1 + i \neq 0, a matriz é inversível. Logo
A^{-1} = \frac{1}{-1+i} \begin{pmatrix} 1 & -2i \\[3pt] i & 1+i \end{pmatrix}.
Para simplificar, note que
\frac{1}{-1+i} = \frac{-1-i}{(-1+i)(-1-i)} = \frac{-1-i}{1+1} = -\frac{1+i}{2}.]

Passo 4

Multiplicamos a constante -\tfrac{1+i}{2} pela matriz adjunta:
A^{-1} = -\frac{1+i}{2} \begin{pmatrix} 1 & -2i \\[3pt] i & 1+i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1+i}{2}\cdot1 & -\tfrac{1+i}{2}\cdot(-2i) \\[6pt] -\tfrac{1+i}{2}\cdot i & -\tfrac{1+i}{2}\cdot(1+i) \end{pmatrix}.
Agora simplificamos cada entrada:
-\frac{1+i}{2}\cdot1 = -\frac{1+i}{2}, \quad -\frac{1+i}{2}\cdot(-2i) = (1+i)\,i = i + i^2 = i-1,
-\frac{1+i}{2}\cdot i = -\frac{i + i^2}{2} = -\frac{i-1}{2} = \frac{1-i}{2}, \quad -\frac{1+i}{2}\cdot(1+i) = -\frac{(1+i)^2}{2} = -\frac{1+2i-1}{2} = -i.]

Resposta

A matriz é inversível e
A^{-1} = \begin{pmatrix} -\dfrac{1+i}{2} & i-1 \\[8pt] \dfrac{1-i}{2} & -i \end{pmatrix}.]

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