Determine se as seguintes matrizes são inversíveis. Em caso afirmativo, calcule a inversa. \left(\begin{array}{ll}i & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} i & 0 \\[6pt] 0 & 1 \end{pmatrix}
é inversível e, em caso afirmativo, calcular A^{-1}. O conteúdo requisitado é determinante e inversa de matrizes 2\times2 (aqui com entradas em \mathbb{C}).]
Passo 2
Para decidir se A é inversível, calculamos o determinante de uma matriz 2\times2: se
A = \begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix},
então
\det(A)=ad-bc.
No nosso caso a=i, b=0, c=0, d=1, logo
\det(A)=i\cdot1-0\cdot0 = i.
Como i\neq0, concluímos que A é inversível.
Passo 3
Para uma matriz 2\times2 inversível, temos a fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\[4pt] -\,c & a \end{pmatrix}.
Substituindo a=i, b=0, c=0, d=1 e \det(A)=i, obtemos