Encontre o ponto de interseção entre as retas: r: X=(2,3,-4)+\lambda(-6,9,-2), \lambda \in \mathbb{R} e s: X=(1,2,-1)+t(-1,2,-1), t \in \mathbb{R}.
Escolha uma opção:
◯ a. (0,4,-2)
◯ b. (-2,8,-4)
◯ c. (-3,10,-5)
◯ d. (-4,12,-6)
◯ e. (-1,6,-3)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ponto de interseção entre duas retas no espaço. Dados fornecidos:
  • Reta r: \;X=(2,3,-4)+\lambda(-6,9,-2),\;\lambda\in\mathbb{R}.
  • Reta s: \;X=(1,2,-1)+t(-1,2,-1),\;t\in\mathbb{R}.
Pergunta: existe um par (\lambda,t) tal que as duas representações paramétricas descrevam o mesmo ponto? Se sim, qual é esse ponto de interseção? (O resultado deve corresponder a uma das alternativas fornecidas.)

Passo 2

Estratégia: se as duas retas se intersectam, então para alguns \lambda e t os vetores posição são iguais componente a componente. Igualando as componentes x,y,z obtemos o sistema
\begin{cases} 2-6\lambda = 1 - t,\\[4pt] 3+9\lambda = 2 + 2t,\\[4pt] -4-2\lambda = -1 - t. \end{cases}
Aqui cada linha corresponde a igualar a respectiva coordenada das duas formas paramétricas.]

Passo 3

Isolar t em função de \lambda a partir da primeira equação:
2-6\lambda = 1 - t
Rearranjando,
t = 1 - (2-6\lambda)= -1 + 6\lambda.
Portanto
t = 6\lambda - 1.

Passo 4

Substituir t=6\lambda-1 na segunda equação para achar \lambda:
3+9\lambda = 2 + 2t = 2 + 2(6\lambda-1).
Calcule o lado direito passo a passo:
2(6\lambda-1)=12\lambda-2,
logo
2 + 2(6\lambda-1)=2 + (12\lambda-2)=12\lambda.
Assim a equação fica
3+9\lambda = 12\lambda.
Isolando \lambda:
3 = 12\lambda - 9\lambda = 3\lambda \quad\Rightarrow\quad \lambda = 1.

Passo 5

Encontrar t usando \lambda=1:
t = 6\lambda - 1 = 6\cdot 1 - 1 = 5.
Verificação na terceira equação para garantir consistência:
\text{LHS} = -4 - 2\lambda = -4 - 2\cdot 1 = -6,
\text{RHS} = -1 - t = -1 - 5 = -6.
Como LHS = RHS, o par (\lambda,t)=(1,5) satisfaz todas as três equações — as retas realmente se intersectam.

Passo 6

Calcular o ponto de interseção usando, por exemplo, a parametração de r com \lambda=1:
X_r = (2,3,-4) + 1\cdot(-6,9,-2) = (2-6,\;3+9,\;-4-2) = (-4,\,12,\,-6).
Pode-se checar que usando s com t=5 obtém-se o mesmo ponto:
X_s = (1,2,-1) + 5\cdot(-1,2,-1) = (1-5,\;2+10,\;-1-5) = (-4,\,12,\,-6).

Resposta

d. (-4,12,-6)

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