Determine quais das seguintes matrizes são invertíveis.
B=\left[\begin{array}{rrr}2 & 2, & -4 \\\\ 1 & 5 & 2 \\\\ 3 & 7 & -2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -4 \\[6pt] 1 & 5 & 2 \\[6pt] 3 & 7 & -2 \end{pmatrix}
e pede para verificar se ela é invertível. Como estamos em \mathbb{R}^{3\times3}, basta calcular o determinante de B: se \det(B)\neq0, então B é invertível; caso contrário, não é.]

Passo 2

Vamos usar a regra de co-fatores para calcular \det(B):
\det(B) =2\det\begin{pmatrix}5&2\\[3pt]7&-2\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}1&2\\[3pt]3&-2\end{pmatrix} +(-4)\det\begin{pmatrix}1&5\\[3pt]3&7\end{pmatrix}.
Agora, cada menor:
\det\begin{pmatrix}5&2\\\ 7&-2\end{pmatrix} =5\cdot(-2)-2\cdot7=-10-14=-24,
\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&-2\end{pmatrix} =1\cdot(-2)-2\cdot3=-2-6=-8,
\det\begin{pmatrix}1&5\\\ 3&7\end{pmatrix} =1\cdot7-5\cdot3=7-15=-8.
Substituindo em \det(B):
\det(B) =2\cdot(-24)-2\cdot(-8)+(-4)\cdot(-8) =-48+16+32=0.]

Passo 3

Como \det(B)=0, concluímos que B não é invertível.

Resposta

A matriz B não é invertível.

Exercícios relacionados