Determine quais das seguintes matrizes são ortogonais. Para as que são ortogonais, obtenha a inversa.
(a) [ll1 & 0 0 & 1]

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para verificar se a matriz
A = 1 & 0 0 & 1
é ortogonal e, em caso positivo, encontrar sua inversa.
Lembrando que uma matriz A é ortogonal se
A^T A = I,
onde I é a matriz identidade de mesma dimensão, e que para matrizes ortogonais vale
A^-1 = A^T

Passo 2

Vamos calcular a transposta de A. Como A é diagonal com 1 na diagonal principal, temos
A^T = 1 & 0 0 & 1 = A
Agora multiplicamos A^T por A:
A^T A = A,A = 1 & 0 0 & 1 1 & 0 0 & 1 = 1 & 0 0 & 1 = I

Passo 3

Como mostramos que A^T A = I, A é de fato ortogonal. E, pela propriedade das matrizes ortogonais,
A^-1 = A^T = A

Resposta

(a) 1 & 0 0 & 1 é ortogonal e sua inversa é
1 & 0 0 & 1

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