Encontre a equação característica, os autovalores e a base do autoespaços (autovetores) das seguintes matrizes:
(d) [rr-2 & -7 1 & 2]

Passo 1

O enunciado pede para a matriz
A = -2 & -7 [6pt] 1 & 2
1 encontrar a equação característica, 2 achar os autovalores e 3 determinar uma base para cada autoespaço (autovetores).
O conteúdo aqui é diagonalização via autovalores e autovetores: primeiro montamos o polinômio característico usando det(A-lambda I), depois resolvemos para lambda e, por fim, achamos os vetores não-triviais que satisfazem (A-lambda I)x=0.]

Passo 2

Vamos calcular o determinante de A - lambda I:
det(A - lambda I) = det-2-lambda & -7 [4pt] 1 & 2-lambda = (-2-lambda)(2-lambda) - (-7)cdot1
Expandindo,
(-2-lambda)(2-lambda) +7 = (-2)(2) +(-2)(-lambda) +(-lambda)(2)+lambda^2 +7 = -4 +2lambda -2lambda +lambda^2 +7 = lambda^2 +3 ]

Passo 3

A equação característica é
lambda^2 +3 = 0
Logo os autovalores são as raízes dessa equação:
lambda = pm iraiz3

Passo 4

Para , montamos o sistema
Da primeira linha vem
Escolhendo para ficar sem frações, um vetor próprio é
]

Passo 5

Para , de modo análogo,
daí
Tomando , um vetor próprio é
]

Resposta

Equação característica:
lambda^2 + 3 = 0
Autovalores:
lambda1 = iraiz3, lambda2 = -,iraiz3
Bases dos autoespaços:
para lambda1, ,(,7,,-2 - iraiz3)^T;
para lambda2, ,(,7,,-2 + iraiz3)^T.

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