Determine quais das seguintes matrizes são positivas (positivas definidas):
cc1 & 1 1 & 1.

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais das matrizes fornecidas são positivas definidas (ou seja, matrices hermitianas/simétricas tais que x*Mx>0 para todo vetor não-nulo x). Vamos usar o critério dos menores principais e a condição de Hermiticidade/simetricidade.

Passo 2

Para que uma matriz seja positiva definida precisamos de duas coisas: ela deve ser Hermitiana (ou simétrica, no caso real) e todos os seus menores principais devem ser estritamente positivos. Em 2×2 isso equivale a verificar M_{11}>0 e det(M)>0.

Passo 3

(i) A matriz M₁= é simétrica, mas tem autovalores 2 e 0 (determinante zero). Logo não é estritamente positiva, apenas semidefinida.

Passo 4

(ii) A matriz M₂= é Hermitiana, mas seus autovalores são +1 e -1. Como há um autovalor negativo, não é positiva definida.

Passo 5

(iii) A matriz M₃= não é simétrica nem Hermitiana, portanto não pode ser positiva definida.

Passo 6

(iv) A matriz M₄= não é simétrica/Hermitiana, então não é positiva definida.

Passo 7

(v) A matriz M₅= é simétrica com M_{11}=2>0 e det=3>0. Portanto todos os menores principais são positivos e M₅ é positiva definida.

Passo 8

(vi) A matriz M₆= é simétrica mas tem det=-3<0. Logo é indefinida e não positiva definida.

Resposta

A única matriz positiva definida é a (v) 2 & 11 & 2.

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