Determine quais das seguintes matrizes são positivas (positivas definidas):
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Passo 1
O enunciado pede para identificar quais das matrizes fornecidas são positivas definidas (ou seja, matrices hermitianas/simétricas tais que x*Mx>0 para todo vetor não-nulo x). Vamos usar o critério dos menores principais e a condição de Hermiticidade/simetricidade.
Passo 2
Para que uma matriz seja positiva definida precisamos de duas coisas: ela deve ser Hermitiana (ou simétrica, no caso real) e todos os seus menores principais devem ser estritamente positivos. Em 2×2 isso equivale a verificar M_{11}>0 e det(M)>0.
Passo 3
(i) A matriz M₁= é simétrica, mas tem autovalores 2 e 0 (determinante zero). Logo não é estritamente positiva, apenas semidefinida.
Passo 4
(ii) A matriz M₂= é Hermitiana, mas seus autovalores são +1 e -1. Como há um autovalor negativo, não é positiva definida.
Passo 5
(iii) A matriz M₃= não é simétrica nem Hermitiana, portanto não pode ser positiva definida.
Passo 6
(iv) A matriz M₄= não é simétrica/Hermitiana, então não é positiva definida.
Passo 7
(v) A matriz M₅= é simétrica com M_{11}=2>0 e det=3>0. Portanto todos os menores principais são positivos e M₅ é positiva definida.
Passo 8
(vi) A matriz M₆= é simétrica mas tem det=-3<0. Logo é indefinida e não positiva definida.
Resposta
A única matriz positiva definida é a (v)
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