Encontre uma solução geral de cada uma das equações diferenciais dadas abaixo.
6 y^(4)+11 y "+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
6,y^(4) + 11,y'' + 4,y = 0
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico, que associa à equação a hipótese y=e^r x.

Passo 2

Assumindo y=e^r x, temos
y'' = r^2 e^r x, y^(4) = r^4 e^r x
Substituindo na equação, o fator e^r x não nulo pode ser cancelado, restando o polinômio característico
6,r^4 + 11,r^2 + 4 = 0

Passo 3

Para simplificar, fazemos a troca m = r^2. A equação em m fica
6,m^2 + 11,m + 4 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática em m:
m = -11 pm raiz11^2 - 4cdot6cdot42cdot6 = -11 pm raiz121 - 9612 = -11 pm 512
Logo
m1 = -tfrac12, m2 = -tfrac43

Passo 5

Voltando a r, obtemos raízes complexas puras:
r^2 = -tfrac12 implies r = pm tfraciraiz2, r^2 = -tfrac43 implies r = pm tfrac2,iraiz3
Cada par de raízes alphapm ibeta gera termos cos(beta x) e sin(beta x).

Passo 6

Assim, a solução geral real é a combinação linear dos quatro modos harmônicos:
y(x) = C1 cos!l(tfracxraiz2r) + C2 sin!l(tfracxraiz2r) + C3 cos!l(tfrac2xraiz3r) + C4 sin!l(tfrac2xraiz3r),
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 cos!l(tfracxraiz2r) + C2 sin!l(tfracxraiz2r) + C3 cos!l(tfrac2xraiz3r) + C4 sin!l(tfrac2xraiz3r)

Exercícios relacionados