Encontre uma solução geral de cada uma das equações diferenciais dadas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico, que associa à equação a hipótese
.
Passo 2
Assumindo
, temos
Substituindo na equação, o fator
não nulo pode ser cancelado, restando o polinômio característico
Passo 3
Para simplificar, fazemos a troca
. A equação em
fica
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática em
:
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Passo 5
Voltando a
, obtemos raízes complexas puras:
Cada par de raízes
gera termos
e
.
Passo 6
Assim, a solução geral real é a combinação linear dos quatro modos harmônicos:
onde
são constantes arbitrárias.