Determine se os seguintes operadores lineares do R^3 são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas:
T(x, y, z)=(0,0, x).

Passo 1

Temos o operador linear T:R^3toR^3 definido por T(x,y,z) = (0,0,x). O conteúdo é verificar se T satisfaz T^2 = T (idempotência) ou T^k = 0 para algum k (nilpotência).

Passo 2

Aplicando T duas vezes, obtemos
T^2(x,y,z) = Tl(T(x,y,z)r) = T(0,0,x) = (0,0,0)

Passo 3

Como para vetores genéricos T^2(x,y,z) = (0,0,0) neq T(x,y,z), não temos T^2 = T, logo não é idempotente. Porém, como T^2 = 0 (operador nulo), existe k=2 tal que T^k = 0, logo T é nilpotente de ordem 2.

Resposta

Nilpotente de ordem 2

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