Sejam F e G.
a. Provar que R^2 e F cap G são subespaços vetoriais de F.
b. Achar G.
c. Provar que R^2 e são complementares em .

Passo 1

O enunciado define os conjuntos F=(x,y)in R^2;,y=2x e G=(x,y)in R^2;,x+3y=0. Precisamos mostrar que cada um é subespaço de R^2, encontrar Fcap G e provar que Foplus G= R^2.

Passo 2

Para mostrar que F é subespaço vetorial, verificamos três coisas: (i) o vetor zero (0,0) satisfaz 0=2cdot0, logo (0,0)in F. (ii) Se (x1,y1),(x2,y2)in F, então y1=2x1 e y2=2x2. A soma é (x1+x2,y1+y2) com y1+y2=2x1+2x2=2(x1+x2), logo permanece em F. (iii) Se (x,y)in F e lambdain R, então y=2x implica lambda y=2(lambda x), assim (lambda x,lambda y)in F.

Passo 3

Para G, fazemos o mesmo: (i) (0,0) satisfaz 0+3cdot0=0, logo (0,0)in G. (ii) Se (x1,y1),(x2,y2)in G, então x1+3y1=0 e x2+3y2=0. A soma (x1+x2)+(3(y1+y2))=(x1+3y1)+(x2+3y2)=0, logo está em G. (iii) Para escalar, lambda x+3(lambda y)=lambda(x+3y)=0, logo (lambda x,lambda y)in G.

Passo 4

Para achar Fcap G resolvemos simultaneamente y=2x e x+3y=0. Substituindo y=2x em x+3y=0
[
x+3(2x)=0,
]
que é
[
7x=0 \implies x=0, \
y=2\cdot0=0.
]
Logo Fcap G=(0,0).

Passo 5

Para mostrar que F+G= R^2, tomamos um vetor arbitrário (x,y). Precisamos escrever
[
(x,y)=(a,2a)+(u,-u/3)
]
com (a,2a)in F e (u,-u/3)in G. Das componentes:
[
a+u=x, \
2a-\tfrac u3=y.
]
Multiplicando a segunda por 3 e somando à primeira vez — ou resolvendo o sistema — encontramos
[
a=\frac{x+3y}7, \
u=x-a.
]
Isso dá uma decomposição única, então cada (x,y) está em F+G e a escrita é única.

Passo 6

Como já vimos que Fcap G=0 e que F+G= R^2, concluímos que R^2=Foplus G, ou seja, são complementares.

Resposta

a) Ambos são subespaços de R^2 por conterem o vetor zero e serem fechados sob soma e escalares.
b) Fcap G=(0,0).
c) Como F+G= R^2 e Fcap G=0, temos R^2=Foplus G, ou seja, são complementares.

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