Sejam
e
.
a. Provar que
e
são subespaços vetoriais de
.
b. Achar
.
c. Provar que
e
são complementares em
.
a. Provar que
b. Achar
c. Provar que
Passo 1
O enunciado define os conjuntos
e
. Precisamos mostrar que cada um é subespaço de
, encontrar
e provar que
.
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço vetorial, verificamos três coisas: (i) o vetor zero
satisfaz
, logo
. (ii) Se
, então
e
. A soma é
com
, logo permanece em
. (iii) Se
e
, então
implica
, assim
.
Passo 3
Para
, fazemos o mesmo: (i)
satisfaz
, logo
. (ii) Se
, então
e
. A soma
, logo está em
. (iii) Para escalar,
, logo
.
Passo 4
Para achar
resolvemos simultaneamente
e
. Substituindo
em
dá
[
x+3(2x)=0,
]
que é
[
7x=0 \implies x=0, \
y=2\cdot0=0.
]
Logo .
[
x+3(2x)=0,
]
que é
[
7x=0 \implies x=0, \
y=2\cdot0=0.
]
Logo
Passo 5
Para mostrar que
, tomamos um vetor arbitrário
. Precisamos escrever
[
(x,y)=(a,2a)+(u,-u/3)
]
com e
. Das componentes:
[
a+u=x, \
2a-\tfrac u3=y.
]
Multiplicando a segunda por 3 e somando à primeira vez — ou resolvendo o sistema — encontramos
[
a=\frac{x+3y}7, \
u=x-a.
]
Isso dá uma decomposição única, então cada está em
e a escrita é única.
[
(x,y)=(a,2a)+(u,-u/3)
]
com
[
a+u=x, \
2a-\tfrac u3=y.
]
Multiplicando a segunda por 3 e somando à primeira vez — ou resolvendo o sistema — encontramos
[
a=\frac{x+3y}7, \
u=x-a.
]
Isso dá uma decomposição única, então cada
Passo 6
Como já vimos que
e que
, concluímos que
, ou seja, são complementares.
Resposta
a) Ambos são subespaços de
por conterem o vetor zero e serem fechados sob soma e escalares.
b) .
c) Como e
, temos
, ou seja, são complementares.
b)
c) Como