Para os espaços abaixo, determine se são finito dimensionais e se sim determine a dimensão e uma base para o espaço:
visto como um espaço vetorial sobre
e visto como um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
O enunciado pede para analisar o espaço vetorial
em dois contextos: como espaço sobre o corpo
e como espaço sobre o corpo
. Vamos usar o conceito de dimensão (tamanho de uma base) e construir bases adequadas em cada caso.
Passo 2
Quando consideramos
como espaço vetorial sobre
, cada vetor é uma tupla
com
. A base padrão é composta pelos vetores que têm 1 em uma coordenada e 0 nas demais. Essa base tem exatamente
elementos, logo o espaço é finito–dimensional de dimensão
. Mais precisamente, a base é
Passo 3
Agora, se tratamos
como espaço vetorial sobre
, cada coordenada
pode ser escrita como
com
. Assim temos um isomorfismo com
. Uma base natural sobre
é dada pelos vetores reais e imaginários correspondentes a cada coordenada:
Passo 4
Essa base tem
vetores, logo
visto sobre
é finito–dimensional de dimensão
.