Para os espaços abaixo, determine se são finito dimensionais e se sim determine a dimensão e uma base para o espaço:
C^n visto como um espaço vetorial sobre C e visto como um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o espaço vetorial C^n em dois contextos: como espaço sobre o corpo C e como espaço sobre o corpo R. Vamos usar o conceito de dimensão (tamanho de uma base) e construir bases adequadas em cada caso.

Passo 2

Quando consideramos C^n como espaço vetorial sobre C, cada vetor é uma tupla (z1,z2,dots,zn) com ziinC. A base padrão é composta pelos vetores que têm 1 em uma coordenada e 0 nas demais. Essa base tem exatamente n elementos, logo o espaço é finito–dimensional de dimensão n. Mais precisamente, a base é
(1,0,0,dots,0),,(0,1,0,dots,0),,dots,,(0,0,dots,1)

Passo 3

Agora, se tratamos C^n como espaço vetorial sobre R, cada coordenada zk pode ser escrita como xk+iyk com xk,ykinR. Assim temos um isomorfismo com R^2n. Uma base natural sobre R é dada pelos vetores reais e imaginários correspondentes a cada coordenada:
(1,0,dots,0),,(i,0,dots,0),,(0,1,0,dots,0),,(0,i,0,dots,0),,dots,,(0,dots,1),,(0,dots,i)

Passo 4

Essa base tem 2n vetores, logo C^n visto sobre R é finito–dimensional de dimensão 2n.

Resposta

C^n sobre C: finito–dimensional, dimensão n, base padrão
e1,dots,en sobre C^n: finito–dimensional, dimensão R, base 2n.

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