Para os espaços abaixo, determine se são finito dimensionais e se sim determine a dimensão e uma base para o espaço:
O conjunto das matrizes m times n sobre K, Mn times m(K).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o espaço vetorial das matrizes de tamanho mtimes n sobre um corpo K. Precisamos verificar se ele é finito-dimensional e, em caso afirmativo, determinar sua dimensão e uma base.

Passo 2

Para ver que é finito-dimensional, note que cada matriz A=(aij) pode ser identificada com o vetor (a11,a12,dots,a1n,a21,dots,amn) em K^mn. Essa correspondência é linear e bijetora entre Mmtimes n(K) e K^mn.
Como K^mn tem dimensão mn, temos imediatamente que dim Mmtimes n(K)=mn.

Passo 3

Para construir uma base, definimos para cada par (i,j) a matriz canônica Eij que tem entrada 1 na posição (i,j) e 0 nas demais posições.
Verificamos que as mn matrizes Eij:1<= i<= m,,1<= j<= n são linearmente independentes (nenhuma combinação não trivial dá a matriz zero) e geram todo o espaço (qualquer matriz é combinação linear delas).

Resposta

Sim, é finito-dimensional, com dimensão mn. Uma base é dada pelas matrizes Eij para 1<= i<= m,,1<= j<= n, onde Eij tem 1 na posição (i,j) e 0 nas demais entradas.

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