Para os espaços abaixo, determine se são finito dimensionais e se sim determine a dimensão e uma base para o espaço:
conjunto das matrizes
sobre
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos o espaço vetorial das matrizes de tamanho
sobre um corpo
. Precisamos verificar se ele é finito-dimensional e, em caso afirmativo, determinar sua dimensão e uma base.
Passo 2
Para ver que é finito-dimensional, note que cada matriz
pode ser identificada com o vetor
em
. Essa correspondência é linear e bijetora entre
e
.
Como tem dimensão
, temos imediatamente que
.
Como
Passo 3
Para construir uma base, definimos para cada par
a matriz canônica
que tem entrada 1 na posição
e 0 nas demais posições.
Verificamos que as matrizes
são linearmente independentes (nenhuma combinação não trivial dá a matriz zero) e geram todo o espaço (qualquer matriz é combinação linear delas).
Verificamos que as
Resposta
Sim, é finito-dimensional, com dimensão
. Uma base é dada pelas matrizes
para
, onde
tem 1 na posição
e 0 nas demais entradas.