Sejam F e G.
a. Provar que R^3 e F cap G são subespaços vetoriais de F.
b. Achar G.
c. R^3 e são complementares em ?

Passo 1

A questão define os conjuntos
F = { (x,y,z)∈ℝ³ ; x + 2y + 3z = 0 } e G = { (x,y,z)∈ℝ³ ; 3x − z = 0 }.
O conteúdo envolve subespaços vetoriais, intersecção de subespaços e o conceito de soma direta (complementaridade) em ℝ³.

Passo 2

Para mostrar que F é subespaço vetorial de ℝ³, uso o critério:
  1. O vetor zero satisfaz x+2y+3z=0 (basta 0+2·0+3·0=0).
  2. Se u e v estão em F, então x_u+2y_u+3z_u=0 e x_v+2y_v+3z_v=0. Logo
    (u+v) satisfaz (x_u+x_v)+2(y_u+y_v)+3(z_u+z_v)=0+0=0, ou seja, u+v∈F.
  3. Se u∈F e α∈ℝ, então αu satisfaz αx+2αy+3αz=α(x+2y+3z)=α·0=0, logo αu∈F.
    Idêntico para G, pois as equações são lineares e homogêneas.

Passo 3

Para achar F∩G, resolvo o sistema:
Da equação 3x − z = 0 vem
z = 3x
Substituindo em x + 2y + 3z = 0:
x + 2y + 3(3x) = 0 10x + 2y = 0 y = -5x
Logo
F cap G = (x,-5x,3x):xinR = span(1,-5,3)

Passo 4

Para verificar se F e G são complementares em ℝ³, uso que eles seriam complemento direto (ℝ³ = F⊕G) se e somente se F+G = ℝ³ e F∩G = {0}. Aqui temos dim F = 2 e dim G = 2, e dim (F∩G) = 1, então
dim(F+G) = dim F + dim G − dim (F∩G) = 2 + 2 − 1 = 3,
o que implica F+G = ℝ³. Mas F∩G ≠ {0}. Portanto, apesar de gerarem todo o espaço, a interseção não é trivial, ou seja, não formam soma direta.

Passo 5

Conclui-se que F e G são subespaços vetoriais de ℝ³, que
F cap G = span(1,-5,3),
e que eles não são complementares em ℝ³ pois F∩G ≠ {0}.

Resposta

F ∩ G = span{(1,-5,3)}. Não são complementares em ℝ³ porque F ∩ G ≠ {0}.

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