Sejam
e
.
a. Provar que
e
são subespaços vetoriais de
.
b. Achar
.
c.
e
são complementares em
?
a. Provar que
b. Achar
c.
Passo 1
A questão define os conjuntos
F = { (x,y,z)∈ℝ³ ; x + 2y + 3z = 0 } e G = { (x,y,z)∈ℝ³ ; 3x − z = 0 }.
O conteúdo envolve subespaços vetoriais, intersecção de subespaços e o conceito de soma direta (complementaridade) em ℝ³.
F = { (x,y,z)∈ℝ³ ; x + 2y + 3z = 0 } e G = { (x,y,z)∈ℝ³ ; 3x − z = 0 }.
O conteúdo envolve subespaços vetoriais, intersecção de subespaços e o conceito de soma direta (complementaridade) em ℝ³.
Passo 2
Para mostrar que F é subespaço vetorial de ℝ³, uso o critério:
- O vetor zero satisfaz x+2y+3z=0 (basta 0+2·0+3·0=0).
- Se u e v estão em F, então x_u+2y_u+3z_u=0 e x_v+2y_v+3z_v=0. Logo
(u+v) satisfaz (x_u+x_v)+2(y_u+y_v)+3(z_u+z_v)=0+0=0, ou seja, u+v∈F. - Se u∈F e α∈ℝ, então αu satisfaz αx+2αy+3αz=α(x+2y+3z)=α·0=0, logo αu∈F.
Idêntico para G, pois as equações são lineares e homogêneas.
Passo 3
Para achar F∩G, resolvo o sistema:
Da equação 3x − z = 0 vem
Da equação 3x − z = 0 vem
Substituindo em x + 2y + 3z = 0:
Logo
Passo 4
Para verificar se F e G são complementares em ℝ³, uso que eles seriam complemento direto (ℝ³ = F⊕G) se e somente se F+G = ℝ³ e F∩G = {0}. Aqui temos dim F = 2 e dim G = 2, e dim (F∩G) = 1, então
dim(F+G) = dim F + dim G − dim (F∩G) = 2 + 2 − 1 = 3,
o que implica F+G = ℝ³. Mas F∩G ≠ {0}. Portanto, apesar de gerarem todo o espaço, a interseção não é trivial, ou seja, não formam soma direta.
dim(F+G) = dim F + dim G − dim (F∩G) = 2 + 2 − 1 = 3,
o que implica F+G = ℝ³. Mas F∩G ≠ {0}. Portanto, apesar de gerarem todo o espaço, a interseção não é trivial, ou seja, não formam soma direta.
Passo 5
Conclui-se que F e G são subespaços vetoriais de ℝ³, que
e que eles não são complementares em ℝ³ pois F∩G ≠ {0}.
Resposta
F ∩ G = span{(1,-5,3)}. Não são complementares em ℝ³ porque F ∩ G ≠ {0}.