Determine se os seguintes operadores do R^3 são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas:
T(x, y, z)=(0,0, x).

Passo 1

O enunciado dá o operador linear Tcolon R^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (0,0,x)
Para decidir se T é idempotente ou nilpotente, lembramos que:
T é idempotente se ,T^2 = T.
T é nilpotente se existe kinN tal que T^k = 0 (aplicação zero).

Passo 2

Vamos calcular T^2. Para (x,y,z)inR^3,
T^2(x,y,z) = Tl(T(x,y,z)r) = Tl(0,0,xr) = (0,0,0)
Logo T^2 é a aplicação zero.

Passo 3

Como T^2=0, temos imediatamente que T^k=0 para todo k>=2. Isso mostra que T é nilpotente de índice 2.

Passo 4

Para ser idempotente precisaríamos de T^2=T. Mas T^2=0 e Tneq0 (por exemplo T(1,0,0)=(0,0,1)neq(1,0,0)). Portanto T^2neq T e T não é idempotente.

Resposta

T é nilpotente (de índice 2) e não é idempotente.

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