Determine se os seguintes operadores do
são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas:
.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
definido por
Para decidir se
é idempotente ou nilpotente, lembramos que:
– é idempotente se
.
– é nilpotente se existe
tal que
(aplicação zero).
–
–
Passo 2
Vamos calcular
. Para
,
Logo
é a aplicação zero.
Passo 3
Como
, temos imediatamente que
para todo
. Isso mostra que
é nilpotente de índice
.
Passo 4
Para ser idempotente precisaríamos de
. Mas
e
(por exemplo
). Portanto
e
não é idempotente.