Determine se os seguintes operadores do R^3 são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas:
T(x, y, z)=(z, x, y);

Passo 1

O enunciado pede para analisar o operador linear
TcolonR^3 to R^3, T(x,y,z) = (z,,x,,y)
e decidir se ele é idempotente (ou seja, T^2 = T), nilpotente (existe k tal que T^k = 0) ou nenhuma das duas coisas. Vamos usar as propriedades de composição de operadores lineares.

Passo 2

Para ver se T é idempotente, calculamos T^2. Aplicando T duas vezes:
T^2(x,y,z) = Tl(T(x,y,z)r) = T(z,x,y) = (,y,,z,,x)
Para ter idempotência precisaríamos de T^2(x,y,z) = T(x,y,z) para todo (x,y,z), isto é
(y,z,x) = (z,x,y)
para todos (x,y,z). Isso só ocorreria em casos triviais, não satisfaz para vetores arbitrários. Logo, T^2 neq T e T não é idempotente.

Passo 3

Para ver se T é nilpotente, procuramos algum k>0 tal que T^k = 0. Note que
T^3(x,y,z) = Tl(T^2(x,y,z)r) = T(y,z,x) = (x,y,z),
ou seja, T^3 = Id, o operador identidade. Como nenhuma potência de T produz o operador zero (ela retorna identidade no passo 3), T não é nilpotente.

Resposta

T não é idempotente e também não é nilpotente.

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