Determine se os seguintes operadores do
são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas:
;
Passo 1
O enunciado pede para analisar o operador linear
e decidir se ele é idempotente (ou seja,
), nilpotente (existe
tal que
) ou nenhuma das duas coisas. Vamos usar as propriedades de composição de operadores lineares.
Passo 2
Para ver se
é idempotente, calculamos
. Aplicando
duas vezes:
Para ter idempotência precisaríamos de
para todo
, isto é
para todos
. Isso só ocorreria em casos triviais, não satisfaz para vetores arbitrários. Logo,
e
não é idempotente.
Passo 3
Para ver se
é nilpotente, procuramos algum
tal que
. Note que
ou seja,
, o operador identidade. Como nenhuma potência de
produz o operador zero (ela retorna identidade no passo 3),
não é nilpotente.