A matriz de um operador do R^2 é:
A=[ll 1 & 1 0 & 1 ]
Determine os autovalores de T. Existem, neste caso, dois autovetores linearmente independente?

Passo 1

O enunciado dá a matriz de um operador TcolonR^2toR^2:
A = 1 & 1 0 & 1
e pede (a) os autovalores de T e (b) se existem dois autovetores linearmente independentes. Para isso vamos usar a definição de autovalor via polinômio característico e depois calcular o espaço próprio.

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são as entradas da diagonal, isto é 1 e 1. Para ver isso pelo polinômio característico, calculamos
chiA(lambda) = detl(A - lambda Ir) = det1 - lambda & 1 0 & 1 - lambda = (1 - lambda)^2
Logo o único autovalor é lambda = 1, com multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Para encontrar os autovetores associados a lambda = 1, resolvemos
(A - I)v = 0 Longrightarrow 0 & 1 0 & 0 x y = 0 0
Da primeira linha vem 0 cdot x + 1 cdot y = 0, ou seja y = 0. A segunda linha não dá restrição nova. Portanto
v = x 0 = x 1 0,
e o espaço próprio é gerado por l(1,0r), logo tem dimensão 1.

Passo 4

A multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) é 1, que é menor que a multiplicidade algébrica 2. Assim não dá para obter dois autovetores linearmente independentes.

Resposta

O único autovalor é lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e o espaço próprio é unidimensional, logo existe apenas um autovetor independente — não há dois autovetores linearmente independentes.

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