Determine quais das seguintes regras definem uma função (Justifique!). Caso seja uma função, identifique seu domínio e codomínio.
A cada número real positivo x associe um número real y tal que y^{2}=x.

Passo 1

O enunciado diz: "A cada número real positivo x associe um número real y tal que y^{2}=x".
Perguntas pedidas: determinar se essa regra define uma função e, se for função, identificar domínio e codomínio.
Informações fornecidas:
  • O elemento de partida (o que é atribuído) é um número real positivo x. Logo x\in(0,\infty).
  • O elemento de chegada é dito apenas "um número real y" que satisfaz y^{2}=x. Isso sugere que o contra-domínio presumido é \mathbb{R}, a menos que se especifique outro conjunto.
  • A regra exige escolher, para cada x>0, um y\in\mathbb{R} com y^{2}=x.

Passo 2

O que significa “definir uma função”? Vou explicar passo a passo, sem pressa.
Definição prática: uma regra f é uma função de um conjunto A (domínio) para um conjunto B (codomínio) se, para todo a\in A, a regra dá exatamente um elemento b\in B. Em palavras: existência e unicidade.
  • Existência: para cada a\in A deve existir pelo menos um b\in B que seja a imagem de a.
  • Unicidade: para cada a\in A deve haver no máximo (ou seja, exatamente) um b\in B que seja a imagem de a.
    Se faltar existência ou faltar unicidade, a regra NÃO é uma função.
    Observação rápida sobre domínio/codomínio: o domínio é o conjunto de entrada (aqui declarado: números reais positivos). O codomínio é o conjunto onde as imagens vivem (aqui, pela frase, parece ser \mathbb{R}, mas o enunciado não explicitou formalmente).

Passo 3

Verifico a existência de solução y para cada x>0.
Teorema conhecido (noções básicas de números reais): para todo x>0 existe um número real não negativo chamado raiz quadrada positiva, \sqrt{x}, tal que (\sqrt{x})^{2}=x. Além disso, (- \sqrt{x})^{2}=x também.
Portanto, para qualquer x\in(0,\infty) existe pelo menos um y\in\mathbb{R} com y^{2}=x. Concluímos que a condição de existência está satisfeita.

Passo 4

Agora verifico a unicidade (essa é a parte crucial).
Para um x>0 genérico temos duas soluções reais para y^{2}=x, que são y=\sqrt{x} e y=-\sqrt{x}. Essas duas soluções são distintas sempre que \sqrt{x}\neq 0, ou seja, para todo x>0.
Exemplo concreto (contrexemplo à unicidade): tome \,x=4. As igualdades \,2^{2}=4 e (-2)^{2}=4 mostram que tanto y=2 quanto y=-2 satisfazem a condição. Logo, para o mesmo x=4 a regra permite duas imagens distintas y. Isso viola a exigência de “exatamente uma” imagem por elemento do domínio.
Portanto a unicidade NÃO é satisfeita pela regra tal como está escrita.

Passo 5

Conclusão lógica a partir dos passos anteriores: a regra dá sempre uma ou mais soluções (existência ok) mas não garante que a solução seja única (unicidade falha). Assim, tal regra, na forma dada, não é uma função.
Observação útil para a prova (como consertar a regra): se em vez de "um número real y tal que y^{2}=x" o enunciado dissesse "o número real não negativo y tal que y^{2}=x" — ou escrevesse explicitamente y=\sqrt{x} — aí a regra passaria a ser uma função. Nesse caso a função seria f:(0,\infty)\to(0,\infty) dada por f(x)=\sqrt{x}. Note que poderíamos também tomar codomínio \mathbb{R}, mas a imagem seria (0,\infty).

Resposta

Não — a regra não define uma função.

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