Determine quais das seguintes regras definem uma função (Justifique!). Caso seja uma função, identifique seu domínio e codomínio.
A cada número real positivo
associe um número real
tal que
.
A cada número real positivo
Passo 1
O enunciado diz: "A cada número real positivo
associe um número real
tal que
".
Perguntas pedidas: determinar se essa regra define uma função e, se for função, identificar domínio e codomínio.
Informações fornecidas:
Perguntas pedidas: determinar se essa regra define uma função e, se for função, identificar domínio e codomínio.
Informações fornecidas:
- O elemento de partida (o que é atribuído) é um número real positivo
. Logo . - O elemento de chegada é dito apenas "um número real
" que satisfaz . Isso sugere que o contra-domínio presumido é , a menos que se especifique outro conjunto. - A regra exige escolher, para cada
, um com .
Passo 2
O que significa “definir uma função”? Vou explicar passo a passo, sem pressa.
Definição prática: uma regra é uma função de um conjunto
(domínio) para um conjunto
(codomínio) se, para todo
, a regra dá exatamente um elemento
. Em palavras: existência e unicidade.
Definição prática: uma regra
- Existência: para cada
deve existir pelo menos um que seja a imagem de . - Unicidade: para cada
deve haver no máximo (ou seja, exatamente) um que seja a imagem de .
Se faltar existência ou faltar unicidade, a regra NÃO é uma função.
Observação rápida sobre domínio/codomínio: o domínio é o conjunto de entrada (aqui declarado: números reais positivos). O codomínio é o conjunto onde as imagens vivem (aqui, pela frase, parece ser, mas o enunciado não explicitou formalmente).
Passo 3
Verifico a existência de solução
para cada
.
Teorema conhecido (noções básicas de números reais): para todo existe um número real não negativo chamado raiz quadrada positiva,
, tal que
. Além disso,
também.
Portanto, para qualquer existe pelo menos um
com
. Concluímos que a condição de existência está satisfeita.
Teorema conhecido (noções básicas de números reais): para todo
Portanto, para qualquer
Passo 4
Agora verifico a unicidade (essa é a parte crucial).
Para um genérico temos duas soluções reais para
, que são
e
. Essas duas soluções são distintas sempre que
, ou seja, para todo
.
Exemplo concreto (contrexemplo à unicidade): tome . As igualdades
e
mostram que tanto
quanto
satisfazem a condição. Logo, para o mesmo
a regra permite duas imagens distintas
. Isso viola a exigência de “exatamente uma” imagem por elemento do domínio.
Portanto a unicidade NÃO é satisfeita pela regra tal como está escrita.
Para um
Exemplo concreto (contrexemplo à unicidade): tome
Portanto a unicidade NÃO é satisfeita pela regra tal como está escrita.
Passo 5
Conclusão lógica a partir dos passos anteriores: a regra dá sempre uma ou mais soluções (existência ok) mas não garante que a solução seja única (unicidade falha). Assim, tal regra, na forma dada, não é uma função.
Observação útil para a prova (como consertar a regra): se em vez de "um número real tal que
" o enunciado dissesse "o número real não negativo
tal que
" — ou escrevesse explicitamente
— aí a regra passaria a ser uma função. Nesse caso a função seria
dada por
. Note que poderíamos também tomar codomínio
, mas a imagem seria
.
Observação útil para a prova (como consertar a regra): se em vez de "um número real
Resposta
Não — a regra não define uma função.