Determine qual dos seguintes são formas bilineares:
Define H: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \longrightarrow R por H\left(t_{1}, t_{2}\right)=t_{1}+2 t_{2}.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
H\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad H(t_{1},t_{2}) = t_{1} + 2\,t_{2}.
O conteúdo que vamos usar é a definição de forma bilinear: uma aplicação B\colon V\times W\to\mathbb{R} é bilinear se, mantido um dos argumentos fixo, for linear no outro.

Passo 2

Lembrando que linearidade em cada argumento significa, por exemplo para o primeiro argumento, que para todo t_{1},t_{1}'\in\mathbb{R}, todo t_{2}\in\mathbb{R} e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}, deve valer
H(\alpha\,t_{1}+t_{1}',\,t_{2}) = \alpha\,H(t_{1},t_{2}) + H(t_{1}',t_{2}).

Passo 3

Vamos testar essa propriedade em H.
Calculemos
H(\alpha\,t_{1}+t_{1}',\,t_{2}) = (\alpha\,t_{1}+t_{1}') + 2\,t_{2} = \alpha\,t_{1} + t_{1}' + 2\,t_{2}.
Por outro lado,
\alpha\,H(t_{1},t_{2}) + H(t_{1}',t_{2}) = \alpha\,(t_{1}+2\,t_{2}) + (t_{1}'+2\,t_{2}) = \alpha\,t_{1} + 2\,\alpha\,t_{2} + t_{1}' + 2\,t_{2}.
Essas expressões não coincidem em geral (note o termo 2\,\alpha\,t_{2} adicional), logo H não é linear no primeiro argumento.

Passo 4

Uma forma bilinear também exigiria linearidade no segundo argumento, mas já bastou falhar no primeiro para concluirmos que H não pode ser bilinear.

Resposta

H não é forma bilinear.

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