Qual a forma bilinear simétrica que dá origem à forma quadrática do
:
a).
.
b).
a).
b).
Passo 1
O enunciado pede, para cada forma quadrática em
, achar a forma bilinear simétrica
tal que
O conteúdo é o processo de “polarização” de uma forma quadrática, que se faz tipicamente por
Passo 2
Recordando a definição, para qualquer forma quadrática
e vetores
,
é sempre uma forma bilinear simétrica que satisfaz
.
Passo 3
Aplicando a fórmula em (a):
Então
Expandindo,
Logo
e
Passo 4
Aplicando a fórmula em (b):
Calculamos
e ao expandir e subtrair
sobra
Dividindo por 2,
Resposta
a) A forma bilinear simétrica é
b) A forma bilinear simétrica é