Qual a forma bilinear simétrica que dá origem à forma quadrática do \mathbb{R}^{3} :
a). q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+4 x_{2} x_{3}.
b). q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede, para cada forma quadrática em \mathbb{R}^3, achar a forma bilinear simétrica B tal que
B(x,x)=q(x).
O conteúdo é o processo de “polarização” de uma forma quadrática, que se faz tipicamente por
B(u,v)=\frac{q(u+v)-q(u)-q(v)}{2}.

Passo 2

Recordando a definição, para qualquer forma quadrática q\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} e vetores x,y\in\mathbb{R}^3,
B(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}
é sempre uma forma bilinear simétrica que satisfaz B(x,x)=q(x).

Passo 3

Aplicando a fórmula em (a):
q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 - x_2^2 + 4\,x_2x_3.
Então
q(x+y)=(x_1+y_1)^2 - (x_2+y_2)^2 + 4\,(x_2+y_2)(x_3+y_3).
Expandindo,
(x_1+y_1)^2 = x_1^2+2x_1y_1+y_1^2,\quad (x_2+y_2)^2 = x_2^2+2x_2y_2+y_2^2,
(x_2+y_2)(x_3+y_3)=x_2x_3 + x_2y_3 + y_2x_3 + y_2y_3.
Logo
q(x+y)-q(x)-q(y) =2\,x_1y_1 - 2\,x_2y_2 + 4\,(x_2y_3 + x_3y_2),
e
B(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2} = x_1y_1 \;-\; x_2y_2 \;+\; 2\,(x_2y_3 + x_3y_2).

Passo 4

Aplicando a fórmula em (b):
q(x_1,x_2,x_3)=2\,(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3).
Calculamos
q(x+y)=2\bigl((x_1+y_1)(x_2+y_2)+(x_1+y_1)(x_3+y_3)+(x_2+y_2)(x_3+y_3)\bigr),
e ao expandir e subtrair q(x)+q(y) sobra
q(x+y)-q(x)-q(y) =2\bigl(2(x_1y_2+x_2y_1 + x_1y_3+x_3y_1 + x_2y_3+x_3y_2)\bigr).
Dividindo por 2,
B(x,y)=x_1y_2+x_2y_1 + x_1y_3+x_3y_1 + x_2y_3+x_3y_2.

Resposta

a) A forma bilinear simétrica é
B(x,y)=x_1y_1 - x_2y_2 + 2\,(x_2y_3 + x_3y_2).
b) A forma bilinear simétrica é
B(x,y)=x_1y_2+x_2y_1 + x_1y_3+x_3y_1 + x_2y_3+x_3y_2.

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