Mostre que para toda forma bilinear \varphi(x, y) verifica-se as igualdades \varphi(0, y)=\varphi(x, 0)=0, quaisquer que sejam x, y \in \mathbb{R}^{n}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma forma bilinear \varphi\colon \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},
isto é, para cada vetor fixo em um dos argumentos, o outro argumento só aparece de modo linear. Vamos usar a propriedade fundamental de qualquer aplicação linear: ela manda o vetor zero no valor zero.

Passo 2

Como \varphi é linear no primeiro argumento, para todo x\in\mathbb{R}^n e escalar \lambda\in\mathbb{R} vale
\varphi(\lambda x,y)=\lambda\,\varphi(x,y).
Escolhendo \lambda=0, e lembrando que 0\cdot x=0 (o vetor zero), temos
\varphi(0,y)=\varphi(0\cdot x,y) =0\cdot\varphi(x,y) =0.

Passo 3

Analogamente, como \varphi é linear no segundo argumento, para todo y\in\mathbb{R}^n e escalar \mu\in\mathbb{R} vale
\varphi(x,\mu y)=\mu\,\varphi(x,y).
Escolhendo \mu=0 e usando 0\cdot y=0, segue
\varphi(x,0) =\varphi\bigl(x,0\cdot y\bigr) =0\cdot\varphi(x,y) =0.

Resposta

\varphi(0,y)=0 e \varphi(x,0)=0 para todos x,y\in\mathbb{R}^n.

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