Dê a solução geral do sistema de equações diferencias lineares homogêneas:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo de coeficientes constantes
O método envolve escrever em forma matricial, calcular autovalores e autovetores, e lidar com caso de multiplicidade.
Passo 2
Escrevemos em forma matricial
, onde
]
Passo 3
Calculamos o polinômio característico de
:
Logo, o único autovalor é
com multiplicidade algébrica 2.]
Passo 4
Achamos um autovetor
resolvendo
:
Tomando
, escolhemos
Passo 5
Como
tem multiplicidade 2 mas apenas um autovetor, precisamos de um vetor generalizado
tal que
. Seja
, então
Da segunda linha
. Escolhendo
dá
. Assim
Passo 6
A solução geral no caso de autovalor duplo com um só autovetor é
Escrevendo em componentes, com
constantes arbitrárias: