Dê a solução geral do sistema de equações diferencias lineares homogêneas: \left\{\begin{array}{l}\frac{d x}{d t}=3 x-4 y, \\\ \frac{d y}{d t}=x-y\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo de coeficientes constantes
\begin{cases} \frac{d x}{d t}=3x-4y,\\\ \frac{d y}{d t}=x-y. \end{cases}
O método envolve escrever em forma matricial, calcular autovalores e autovetores, e lidar com caso de multiplicidade.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial \mathbf X' = A\,\mathbf X, onde
\mathbf X = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix}3 & -4\\[6pt]1 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\det\!\begin{pmatrix}3-\lambda & -4\\[3pt]1 & -1-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)(-1-\lambda)-(-4\cdot1) =\lambda^2-2\lambda+1=(\lambda-1)^2.
Logo, o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2.]

Passo 4

Achamos um autovetor \mathbf v resolvendo (A-I)\mathbf v=0:
(A-I)=\begin{pmatrix}2 & -4\\[3pt]1 & -2\end{pmatrix}, \quad 2v_1-4v_2=0\implies v_1=2v_2.
Tomando v_2=1, escolhemos
\mathbf v = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Como \lambda=1 tem multiplicidade 2 mas apenas um autovetor, precisamos de um vetor generalizado \mathbf w tal que (A-I)\mathbf w=\mathbf v. Seja \mathbf w=(w_1,w_2)^T, então
\begin{pmatrix}2 & -4\\[3pt]1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}w_1\w_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.
Da segunda linha w_1-2w_2=1. Escolhendo w_2=0 w_1=1. Assim
\mathbf w = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.]

Passo 6

A solução geral no caso de autovalor duplo com um só autovetor é
\mathbf X(t) = C_1 e^{t}\,\mathbf v + C_2 \bigl(te^{t}\,\mathbf v + e^{t}\,\mathbf w\bigr).
Escrevendo em componentes, com C_1,C_2 constantes arbitrárias:
x(t) = e^{t}\bigl(2C_1 + C_2(2t+1)\bigr), \quad y(t) = e^{t}\bigl(C_1 + C_2\,t\bigr).

Resposta

\boxed{ x(t) = e^{t}\bigl(2C_1 + C_2(2t+1)\bigr), \quad y(t) = e^{t}\bigl(C_1 + C_2\,t\bigr), \quad C_1,C_2\in\mathbb R. }

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