Determine qual dos seguintes são formas bilineares:
Seja
o espaço vetorial real de funções continuas no intervalo
. Para
e
em
, define
,
Seja
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial real
de todas as funções contínuas em
e define uma aplicação
Queremos verificar se
é uma forma bilinear, isto é, se é linear em cada argumento separadamente.
Passo 2
Verificação da linearidade em relação ao primeiro argumento. Sejam
e
. Então, usando a linearidade da integral, temos
Isto mostra que
é linear no primeiro argumento.
Passo 3
Verificação da linearidade em relação ao segundo argumento. Sejam
e
. Novamente pela linearidade da integral,
Isso mostra que
é linear no segundo argumento.
Resposta
A aplicação
é de fato uma forma bilinear em
.