Determine qual dos seguintes são formas bilineares:
Seja V=C[0,1] o espaço vetorial real de funções continuas no intervalo [0,1]. Para f e g em V, define H(f, g)=\int_{0}^{1} f(t) g(t) d t,

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial real V = C[0,1] de todas as funções contínuas em [0,1] e define uma aplicação
H\colon V\times V \;\longrightarrow\;\mathbb{R}, \qquad H(f,g) = \int_{0}^{1} f(t)\,g(t)\,\mathrm{d}t.
Queremos verificar se H é uma forma bilinear, isto é, se é linear em cada argumento separadamente.

Passo 2

Verificação da linearidade em relação ao primeiro argumento. Sejam f_{1},f_{2},h\in V e a,b\in\mathbb{R}. Então, usando a linearidade da integral, temos
H(af_{1} + bf_{2},\,h) = \int_{0}^{1} \bigl(a\,f_{1}(t) + b\,f_{2}(t)\bigr)\,h(t)\,\mathrm{d}t = a\int_{0}^{1} f_{1}(t)\,h(t)\,\mathrm{d}t + b\int_{0}^{1} f_{2}(t)\,h(t)\,\mathrm{d}t = a\,H(f_{1},h) + b\,H(f_{2},h).
Isto mostra que H é linear no primeiro argumento.

Passo 3

Verificação da linearidade em relação ao segundo argumento. Sejam f,h_{1},h_{2}\in V e a,b\in\mathbb{R}. Novamente pela linearidade da integral,
H\bigl(f,\,a\,h_{1} + b\,h_{2}\bigr) = \int_{0}^{1} f(t)\,\bigl(a\,h_{1}(t) + b\,h_{2}(t)\bigr)\,\mathrm{d}t = a\int_{0}^{1} f(t)\,h_{1}(t)\,\mathrm{d}t + b\int_{0}^{1} f(t)\,h_{2}(t)\,\mathrm{d}t = a\,H(f,h_{1}) + b\,H(f,h_{2}).
Isso mostra que H é linear no segundo argumento.

Resposta

A aplicação
H(f,g)=\int_{0}^{1}f(t)\,g(t)\,\mathrm{d}t
é de fato uma forma bilinear em V = C[0,1].

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