(2,0 pts) Encontrar uma transformação linear \mathrm{T}: R^{3} \rightarrow R^{2} tal que \mathrm{N}(\mathrm{T})=[(1,-1,0)]
Passo 1
O enunciado pede para construir uma transformação linear \mathrm{T}\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 cujo núcleo seja exatamente o subespaço gerado por (1,-1,0). O conteúdo aqui envolve transformações lineares, definição de núcleo e o Teorema do Núcleo-Imagem (ou Teorema da Dimensão), que relaciona \dim\ker\mathrm{T} e \dim\operatorname{Im}\mathrm{T}.
Passo 2
Pelo enunciado, \ker\mathrm{T}=\operatorname{span}\{(1,-1,0)\} tem dimensão 1. Como o domínio é \mathbb{R}^3, o Teorema do Núcleo-Imagem dá
logo \dim\operatorname{Im}\mathrm{T}=2. Assim, a matriz de \mathrm{T} deve ter posto 2, ou seja, duas linhas linearmente independentes.
Passo 3
As linhas da matriz de \mathrm{T} podem ser vistas como vetores em \mathbb{R}^3 ortogonais a todo vetor do núcleo. Se (x,y,z) está no núcleo, então x - y = 0 e z=0. Logo qualquer linha (a,b,c) deve satisfazer
a\cdot1 + b\cdot(-1) + c\cdot0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = b.
Então o subespaço ortogonal a (1,-1,0) é \{(a,a,c)\}, que tem base, por exemplo,
(1,1,0)\quad\text{e}\quad(0,0,1).
Passo 4
Escolhendo essas duas bases como linhas da matriz, definimos
Vamos verificar que \ker\mathrm{T}=\operatorname{span}\{(1,-1,0)\}. Se \mathrm{T}(x,y,z)=(0,0), então
x+y=0\quad\text{e}\quad z=0
implicam x=-y e z=0, ou seja (x,y,z)=(t,-t,0)=t\,(1,-1,0). Não há outro vetor no núcleo, logo \ker\mathrm{T}=\operatorname{span}\{(1,-1,0)\}, conforme desejado.