(2,0 pts) Encontrar uma transformação linear \mathrm{T}: R^{3} \rightarrow R^{2} tal que \mathrm{N}(\mathrm{T})=[(1,-1,0)]

Passo 1

O enunciado pede para construir uma transformação linear \mathrm{T}\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 cujo núcleo seja exatamente o subespaço gerado por (1,-1,0). O conteúdo aqui envolve transformações lineares, definição de núcleo e o Teorema do Núcleo-Imagem (ou Teorema da Dimensão), que relaciona \dim\ker\mathrm{T} e \dim\operatorname{Im}\mathrm{T}.

Passo 2

Pelo enunciado, \ker\mathrm{T}=\operatorname{span}\{(1,-1,0)\} tem dimensão 1. Como o domínio é \mathbb{R}^3, o Teorema do Núcleo-Imagem dá
\dim\ker\mathrm{T} + \dim\operatorname{Im}\mathrm{T} = 3,
logo \dim\operatorname{Im}\mathrm{T}=2. Assim, a matriz de \mathrm{T} deve ter posto 2, ou seja, duas linhas linearmente independentes.

Passo 3

As linhas da matriz de \mathrm{T} podem ser vistas como vetores em \mathbb{R}^3 ortogonais a todo vetor do núcleo. Se (x,y,z) está no núcleo, então x - y = 0 e z=0. Logo qualquer linha (a,b,c) deve satisfazer
a\cdot1 + b\cdot(-1) + c\cdot0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = b.
Então o subespaço ortogonal a (1,-1,0) é \{(a,a,c)\}, que tem base, por exemplo,
(1,1,0)\quad\text{e}\quad(0,0,1).

Passo 4

Escolhendo essas duas bases como linhas da matriz, definimos
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
e a transformação linear associada por
\mathrm{T}(x,y,z) = A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \bigl(x+y,\;z\bigr).

Passo 5

Vamos verificar que \ker\mathrm{T}=\operatorname{span}\{(1,-1,0)\}. Se \mathrm{T}(x,y,z)=(0,0), então
x+y=0\quad\text{e}\quad z=0
implicam x=-y e z=0, ou seja (x,y,z)=(t,-t,0)=t\,(1,-1,0). Não há outro vetor no núcleo, logo \ker\mathrm{T}=\operatorname{span}\{(1,-1,0)\}, conforme desejado.

Resposta

Uma transformação que funciona é
\mathrm{T}(x,y,z) = (\,x+y,\;z\,),
cuja matriz em bases canônicas é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
pois \ker\mathrm{T}=\operatorname{span}\{(1,-1,0)\}.

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