Determine se as seguintes sequências convergem ou divergem
a_{n}=\frac{n^{5}}{2 n^{5}-n^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{n^{5}}{2 n^{5}-n^{3}}
e pede para determinar se essa sequência converge ou diverge. Informação útil fornecida: a sequência é expressa em termos de potências de n. A pergunta que vamos responder: a sequência (a_n) tem limite quando n\to\infty? Se sim, qual é esse limite?

Passo 2

Uma técnica padrão para sequências racionais (uma razão de polinômios em n) é dividir numerador e denominador pela maior potência de n presente, aqui n^{5}. Faço isso para simplificar a expressão e evidenciar o comportamento quando n\to\infty:
a_{n}=\frac{n^{5}}{2 n^{5}-n^{3}} =\frac{n^{5}/n^{5}}{(2 n^{5}-n^{3})/n^{5}} =\frac{1}{2 - \dfrac{1}{n^{2}}}.

Passo 3

Agora observe o termo \dfrac{1}{n^{2}}. Para n\to\infty esse termo tende a 0. Uma justificativa rápida: para n\ge 1 temos
0\le \frac{1}{n^{2}}\le \frac{1}{n},
e como \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, segue por comparação que \dfrac{1}{n^{2}}\to 0.

Passo 4

Substituindo esse comportamento na expressão obtida no Passo 2, o denominador 2-\dfrac{1}{n^{2}} tende a 2-0=2 quando n\to\infty. Usando regras básicas de limites (o limite de uma razão é a razão dos limites quando o limite do denominador é diferente de zero), obtemos que a_{n} tende a
\frac{1}{2}.

Passo 5

Para ser mais rigoroso, faço uma estimativa do erro |a_{n}-\tfrac{1}{2}| e mostro que ele vai a zero. Calculo a diferença:
a_{n}-\frac{1}{2} =\frac{1}{2 - \dfrac{1}{n^{2}}}-\frac{1}{2} =\frac{\dfrac{1}{n^{2}}}{2\left(2 - \dfrac{1}{n^{2}}\right)} =\frac{1}{2 n^{2}\left(2 - \dfrac{1}{n^{2}}\right)}.
Para n\ge 1 temos 2-\dfrac{1}{n^{2}}\ge 1, logo
\left|a_{n}-\frac{1}{2}\right| \le \frac{1}{2 n^{2}}.
Dado \varepsilon>0, escolho N tal que \dfrac{1}{2N^{2}}<\varepsilon (por exemplo N>\sqrt{\dfrac{1}{2\varepsilon}}). Então para todo n\ge N vale \left|a_{n}-\tfrac{1}{2}\right|<\varepsilon. Isso demonstra, de forma rígida, que a_{n}\to \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Resumo do raciocínio: simplificamos a expressão dividindo pelo termo dominante n^{5}, vimos que o termo extra \dfrac{1}{n^{2}} tende a zero, usamos regras de limites e fizemos uma estimativa de erro para garantir convergência. Assim a sequência tem limite finito.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=\tfrac{1}{2}

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