Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
an=sin (3 nn^2+1)n

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a sequência an = sinl(3nn^2+1r)n converge ou diverge e, se convergir, achar o limite. O conteúdo é limite de sequência e vamos precisar do teorema do confronto junto com a propriedade |sin x| <= |x|.

Passo 2

Observamos que o argumento do seno é 3nn^2+1. Para ntoinfty vale:
3nn^2+1 = 3n + tfrac1n ;longrightarrow; 0
Isso mostra que o seno está sendo aplicado em algo que tende a zero.

Passo 3

Aplicamos rigorosamente a desigualdade |sin u|<=|u|. Assim,
|an| = |sinl(tfrac3nn^2+1r)n| <= l|tfrac3nn^2+1r|n = 3n^2+1
Como 3n^2+1to0, pelo teorema do confronto concluímos que anto0.

Passo 4

Portanto, a sequência (an) é convergente.

Resposta

A sequência é convergente e limntoinftyan = 0.

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