Questão 24. Encontre a solução u(r, 日) da equação de Laplace na região circular
, que satisfaz a condição de contorno
supondo que u seja contínua e limitada na região dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução
da equação de Laplace em coordenadas polares na região interior do círculo de raio
, isto é
com a condição de contorno
e exigindo que
seja contínua e limitada em
. Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de Fourier da função de contorno.
Passo 2
Em coordenadas polares a solução regular em
tem a forma de série de Fourier
onde os coeficientes
vêm da expansão
em
.
Passo 3
Calcular
pela média em
:
Passo 4
Calcular os coeficientes
para
:
Passo 5
Calcular os coeficientes
para
:
Passo 6
Substituindo em
e usando
,
,
, obtemos