Questão 24. Encontre a solução u(r, 日) da equação de Laplace na região circular r<a, 0<\theta<2 \pi, que satisfaz a condição de contorno
u(a, \theta)=\theta(\pi-\theta), \quad 0 \leq \theta \leq 2 \pi
supondo que u seja contínua e limitada na região dada.

Passo 1

O enunciado pede a solução u(r,\theta) da equação de Laplace em coordenadas polares na região interior do círculo de raio a, isto é
\Delta u = 0,\quad 0\le r<a,\;0\le\theta\le2\pi,
com a condição de contorno
u(a,\theta)=\theta(\pi-\theta),\quad 0\le\theta\le2\pi,
e exigindo que u seja contínua e limitada em r=0. Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de Fourier da função de contorno.

Passo 2

Em coordenadas polares a solução regular em r=0 tem a forma de série de Fourier
u(r,\theta)=\frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{r}{a}\Bigr)^n\bigl(A_n\cos(n\theta)+B_n\sin(n\theta)\bigr),
onde os coeficientes A_n,B_n vêm da expansão
\theta(\pi-\theta)=\frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\bigl(A_n\cos(n\theta)+B_n\sin(n\theta)\bigr)
em 0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

Calcular A_0 pela média em [0,2\pi]:
A_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\theta(\pi-\theta)\,d\theta =\frac{1}{\pi}\biggl[\pi\frac{\theta^2}{2}-\frac{\theta^3}{3}\biggr]_{0}^{2\pi} =\frac{1}{\pi}\Bigl(2\pi^3-\tfrac{8\pi^3}{3}\Bigr) =-\tfrac{2}{3}\pi^2.

Passo 4

Calcular os coeficientes A_n para n\ge1:
A_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\theta(\pi-\theta)\cos(n\theta)\,d\theta =-\frac{4}{n^2}.

Passo 5

Calcular os coeficientes B_n para n\ge1:
B_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\theta(\pi-\theta)\sin(n\theta)\,d\theta =\frac{2\pi}{n}.

Passo 6

Substituindo em
u(r,\theta)=\frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{r}{a}\Bigr)^n\bigl(A_n\cos(n\theta)+B_n\sin(n\theta)\bigr)
e usando A_0/2=-\tfrac{1}{3}\pi^2, A_n=-4/n^2, B_n=2\pi/n, obtemos
u(r,\theta) =-\tfrac{1}{3}\pi^2 +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{r}{a}\Bigr)^n\Bigl(-\frac{4}{n^2}\cos(n\theta)+\frac{2\pi}{n}\sin(n\theta)\Bigr).

Resposta

u(r,\theta) =-\frac{\pi^2}{3} +\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{r}{a}\right)^{n}\!\!\Bigl(-\frac{4}{n^{2}}\cos(n\theta) +\frac{2\pi}{n}\sin(n\theta)\Bigr).

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