Resolva a equaçio diferencial
\left(y \cos x+2 x e^{2}\right) d x+\left(\operatorname{sen} x+x^{2} c^{3}-1\right) d y=0 .
(4 pts)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(y\cos x + 2x e^y\bigr)\,dx \;+\;\bigl(\sin x + x^2 e^y - 1\bigr)\,dy = 0
e pede sua solução geral. Isso é uma equação da forma
P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy=0
que podemos tentar resolver pelo critério de exatidão.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=y\cos x +2x e^y, \qquad Q(x,y)=\sin x +x^2e^y -1.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial P}{\partial y} =\cos x +2x e^y, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} =\cos x +2x e^y.

Passo 3

Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x, a equação é exata. Logo existe uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=P, \qquad \frac{\partial F}{\partial y}=Q.
Para encontrá-la, integramos P em relação a x:
F(x,y)=\int\bigl(y\cos x +2x e^y\bigr)\,dx =y\sin x + x^2 e^y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Agora impomos \partial F/\partial y = Q. Calculando
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\sin x + x^2 e^y +h(y)\bigr) =\sin x + x^2 e^y + h'(y)
e igualando a Q=\sin x + x^2e^y -1, obtemos
\sin x + x^2 e^y + h'(y) =\sin x + x^2e^y -1 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-1.
Integrando em y vem h(y)=-y +C.

Passo 5

Substituindo h(y) em F, a função potencial fica
F(x,y)=y\sin x + x^2 e^y -y.
A solução geral da equação diferencial exata é
F(x,y)=\text{constante},
isto é
y\sin x + x^2 e^y - y = C.

Resposta

\boxed{y\sin x + x^2 e^y - y = C.}

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