Determine quais das seguintes sequências são ou não monótonas.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a monotonicidade da sequência
definida por
Este é um exercício sobre sequências e monotonicidade (crescimento e decrescimento). Para resolver, vamos:
- Encontrar uma expressão simples para
. - Listar alguns termos para visualizar o comportamento.
- Recordar a definição de sequência monótona.
- Verificar se a condição de monotonicidade vale ou não.
Passo 2
Usamos a identidade trigonométrica
Logo
Os primeiros termos são
Portanto a sequência alterna entre
e
.
Passo 3
Definições de monotonicidade para sequências reais
:
- Dizemos que
é não decrescente (ou crescente) se, para todo , - Dizemos que
é não crescente (ou decrescente) se, para todo ,
Passo 4
Vamos verificar se uma dessas desigualdades vale para todos os
:
- De
para temos , então cresce nessa etapa. - De
para temos , então decresce nessa etapa.
Como em um passo a sequência cresce e em outro decresce, não existe nem sempre
nem sempre
.
Resposta
A sequência
não é monótona.