Determine quais das seguintes sequências são ou não monótonas.
(\cos (n \pi))

Passo 1

O enunciado pede para analisar a monotonicidade da sequência
\bigl(a_n\bigr) definida por
a_n = \cos\bigl(n\pi\bigr).
Este é um exercício sobre sequências e monotonicidade (crescimento e decrescimento). Para resolver, vamos:
  1. Encontrar uma expressão simples para a_n.
  2. Listar alguns termos para visualizar o comportamento.
  3. Recordar a definição de sequência monótona.
  4. Verificar se a condição de monotonicidade vale ou não.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
\cos\bigl(n\pi\bigr) = (-1)^n.
Logo
a_n = (-1)^n.
Os primeiros termos são
a_1 = (-1)^1 = -1,\quad a_2 = (-1)^2 = 1,\quad a_3 = -1,\quad a_4 = 1,\;\dots
Portanto a sequência alterna entre -1 e 1.

Passo 3

Definições de monotonicidade para sequências reais \bigl(a_n\bigr):
  • Dizemos que \bigl(a_n\bigr) é não decrescente (ou crescente) se, para todo n, a_{n+1} \ge a_n.
  • Dizemos que \bigl(a_n\bigr) é não crescente (ou decrescente) se, para todo n, a_{n+1} \le a_n.

Passo 4

Vamos verificar se uma dessas desigualdades vale para todos os n:
  • De a_1=-1 para a_2=1 temos a_2 - a_1 = 2 > 0, então cresce nessa etapa.
  • De a_2=1 para a_3=-1 temos a_3 - a_2 = -2 < 0, então decresce nessa etapa.
Como em um passo a sequência cresce e em outro decresce, não existe nem sempre a_{n+1}\ge a_n nem sempre a_{n+1}\le a_n.

Resposta

A sequência \bigl(\cos(n\pi)\bigr) não é monótona.

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