Determine quais das seguintes sequências são ou não monótonas.
\left(\frac{n-1}{n+3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a monotonicidade da sequência
a_n = \frac{n-1}{n+3},\quad n\in\mathbb{N}.
Para isso, vamos usar o critério de monotonicidade baseado na diferença a_{n+1}-a_n: se ela for sempre positiva, a sequência é estritamente crescente; se for sempre negativa, é estritamente decrescente.

Passo 2

Calculamos
a_{n+1}-a_n = \frac{(n+1)-1}{(n+1)+3} \;-\;\frac{n-1}{n+3} = \frac{n}{n+4} - \frac{n-1}{n+3}.
Colocando em denominador comum (n+4)(n+3),
a_{n+1}-a_n = \frac{n(n+3) - (n-1)(n+4)}{(n+4)(n+3)}.

Passo 3

Expandindo o numerador:
n(n+3) = n^2 + 3n,\quad (n-1)(n+4) = n^2 +4n - n -4 = n^2 +3n -4,
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n(n+3) - (n-1)(n+4) = (n^2+3n) - (n^2+3n -4) = 4.
Então
a_{n+1}-a_n = \frac{4}{(n+4)(n+3)}.

Passo 4

Observamos que, para todo n\in\mathbb{N}, o denominador (n+4)(n+3) é positivo. Logo
a_{n+1}-a_n = \frac{4}{(n+4)(n+3)} > 0.
Isso mostra que cada termo é menor que o próximo, ou seja, a sequência é estritamente crescente.

Resposta

A sequência \displaystyle\frac{n-1}{n+3} é monótona crescente.

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