Use um argumento de séries geométricas para determinar se as seguintes séries convergem. Caso convirjam, calcule sua soma
sumn=1^infty (-4)^n-15^n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série sumn=1^infty(-4)^n-15^n. Este exercício trata de séries geométricas: reconhecer a forma sum a,r^n-1 e usar a fórmula de soma quando |r|<1.

Passo 2

Determinar o primeiro termo e a razão da série. Para n=1 temos
a = (-4)^1-15^1 = 15
A razão r é o quociente entre termos consecutivos:
r = (-4)^n5^n+1(-4)^n-15^n = (-4)^n5^n+1cdot5^n(-4)^n-1 = -45
Como l|-tfrac45r|=tfrac45<1, a série converge.

Passo 3

Aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica de primeiro termo a e razão r:
S = a1-r
Substituindo a=tfrac15 e r=-tfrac45, temos
S = tfrac151 - l(-tfrac45r) = tfrac151 + tfrac45 = tfrac15tfrac95 = 19

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac19.

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